Option 12 IDZ 2.2

N° 1.12. Pour un ensemble de vecteurs donné, vous devez effectuer les étapes suivantes :

• a) calculer le produit mixte de trois vecteurs ;
• b) trouver le module du produit vectoriel ;
• c) calculer le produit scalaire de deux vecteurs ;
• d) vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux ;
• e) vérifier si trois vecteurs sont coplanaires : a(-4;3;-7);b(4;6;-2);c(6;9;-3).

Solution : a) Pour calculer le produit mixte de trois vecteurs, il faut trouver le déterminant de la matrice composée des coordonnées de ces vecteurs : $$\begin{vmatrix} -4 & 3 & -7 \\ 4 & 6 & -2 \\ 6 & 9 & - 3 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) \cdot 6 + (-7) \cdot 4 \ cdot 9 - (-7) \cdot 6 \cdot (-2) - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \cdot 9 = -84.$$ Réponse : -84. b) Pour trouver le module du produit vectoriel des vecteurs a et b, il est nécessaire de calculer la longueur du vecteur obtenu grâce à leur produit vectoriel. La formule pour calculer le module d'un produit vectoriel est : $$|a \times b| = |(-39;14;30)| = \sqrt{(-39)^2 + 14^2 + 30^2} \approx 42.01.$$ Réponse : 42.01. c) Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, il faut multiplier les coordonnées correspondantes de ces vecteurs et additionner les produits résultants : $$a \cdot b = (-4) \cdot 4 + 3 \cdot 6 + (- 7) \cdot (-2) = 8.$$ Réponse : 8. d) Deux vecteurs non nuls seront colinéaires si l'un d'eux est un multiple de l'autre. Deux vecteurs non nuls seront orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Calculons le produit scalaire des vecteurs a et b : $$a \cdot b = 8 \neq 0,$$ signifie que les vecteurs a et b ne sont pas orthogonaux. Ensuite, trouvons le produit vectoriel des vecteurs a et b : $$a \times b = (-39;14;30).$$ Calculons le produit scalaire des vecteurs a et c : $$a \cdot c = ( -4) \cdot 6 + 3 \cdot 9 + (-7) \cdot (-3) = 51,$$ signifie que les vecteurs a et c ne sont pas orthogonaux. Ensuite, trouvons le produit vectoriel des vecteurs a et c : $$a \times c = (-12;-34;-6).$$ Calculons le produit scalaire des vecteurs b et c : $$b \cdot c = 4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + (-2) \cdot (-3) = 72,$$ signifie que les vecteurs b et c ne sont pas orthogonaux. Ensuite, nous trouvons le produit vectoriel des vecteurs b et c : $$b \times c =(33;26;18).$$ Ainsi, ni deux ni trois vecteurs ne sont orthogonaux et ne peuvent donc pas être coplanaires. e) Réponse : Aucun des trois vecteurs n’est coplanaire avec les deux autres vecteurs. N° 2.12. Les sommets de la pyramide sont donnés : A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3;4). Solution : Pour trouver le volume de la pyramide formée par les sommets A, B, C et D, il faut trouver la moitié du volume du parallélépipède formé par les vecteurs AB, AC et AD. Le volume d'un parallélépipède peut être calculé à l'aide de la formule : $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6.$$ Calculs : $$\vec {AB} = ( -6;-6;-12),$$ $$\vec{AC} = (-12;-7;-9),$$ $$\vec{AD} = (-6; -7;-5 ),$$ $$\vec{AC} \times \vec{AD} = (-26;78;-42),$$ $$\vec{AB} \cdot (\vec{AC } \times \vec {AD}) = 936.$$ $$V = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|/6 = 156.$$ Réponse : le volume de la pyramide formée par les sommets A, B, C et D est égal à 156. N° 3.12. La force F(2;2;9) appliquée au point A(4;2;-3) est donnée. Solution : a) Pour calculer le travail de la force F, il faut trouver le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement du point d'application de la force : $$W = \vec{F} \cdot \vec {s},$$ où $\vec{F}$ - vecteur de force, $\vec{s}$ est le vecteur de déplacement du point d'application de la force. Le vecteur déplacement du point d'application de la force : $$\vec{s} = \vec{AB} = (-2;2;3),$$ où point B(2;4;0). Alors le travail de force F lors du déplacement du point d'application de la force du point A au point B est égal à : $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = 14.$$ Réponse : travail de force F lors du déplacement du point d'application de la force du point A au point B est égal à 14. b) Moment de force F relatif B peut être calculé à l'aide de la formule : $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F},$$ où $\vec{r_{AB}}$ est le rayon vecteur de le point d'application de la force par rapport au point B. Rayon vecteur du point d'application de la force par rapport au point B : $$\vec{r_{AB}} = \vec{BA} = (2;-2;- 3).$$ Alors le moment de force F par rapport au point B est égal à : $$\vec{M_B} = \vec{r_{AB}} \times \vec{F} = (-22;22; 8).$$ Le module de moment est égal à : $$|\vec{M_B} | = \sqrt{(-22)^2 + 22^2 + 8^2} \approx 30.33.$$ Réponse : le module du moment de force F par rapport au point B est approximativement approximativement

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