Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 19

Nº 1.19. Dados quatro pontos A1(8;–6;4); A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7). É necessário criar equações:

a) Equação do plano A1A2A3: Para compilar a equação do plano que passa por três pontos, usamos a fórmula: (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * (x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

Vamos substituir as coordenadas dos pontos A1, A2 e A3 nesta fórmula: ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

Vamos simplificar a equação e obter a resposta: 13x + 13y - 21z - 74 = 0.

b) Equação da reta A1A2: Para compilar a equação de uma reta que passa por dois pontos, usamos a fórmula: x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

Vamos substituir as coordenadas dos pontos A1 e A2 nesta fórmula: x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

Obtemos a equação da reta A1A2: x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) Equação da reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3: A reta A4M deve ser perpendicular ao plano A1A2A3, o que significa que o vetor diretor desta reta deve ser colinear à normal ao plano. A normal ao plano A1A2A3 pode ser encontrada como o produto vetorial de seus dois vetores de direção:

n = (A2 - A1) x (A3 - A1)

Vetores substitutos A2, A1 e A3: n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

Agora vamos usar a fórmula da equação de uma reta que passa por um ponto e é paralela a um determinado vetor: x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

Obtemos a equação da reta A4M: x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) Equação da reta A3N paralela à reta A1A2: A reta A3N é paralela à reta A1A2, ou seja, seu vetor diretor deve ser igual ao vetor diretor da reta A1A2, ou seja, v = A2 - A1 = (2 , 11, -9).

A reta A3N passa pelo ponto A3, então podemos usar a fórmula da equação de uma reta que passa pelo ponto e é paralela a um determinado vetor: x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

Obtemos a equação da reta A3N: (x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) Equação de um plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2: A reta A1A2 já foi definida no ponto b). Vamos encontrar o vetor diretor da reta A1A2:

você = A2 - A1 = (2, 11, -9).

Como o plano desejado deve ser perpendicular à reta A1A2, seu vetor normal deve ser colinear ao produto vetorial do vetor diretor da reta A1A2 e o vetor que vai do ponto A4 a qualquer ponto desta reta, por exemplo, do ponto A1:

n = você x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22).

Agora podemos escrever a equação do plano desejado através do ponto A4 e do vetor normal encontrado: 135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0.

f) Seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3: Encontre o vetor diretor da reta A1A4 utilizando as coordenadas dos pontos A1 e A4: v = A4 - A1 = (0, 16, 3).

Agora vamos encontrar o vetor normal do plano A1A2A3, que já encontramos no ponto a): n = (13, 13, -21).

O seno do ângulo entre os vetores v e n pode ser encontrado usando a fórmula: sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|),

onde |v x n| - comprimento do produto vetorial de v e n, |v| e |n| - comprimentos dos vetores v e n, respectivamente.

Vamos calcular os valores: |v| = quadrado (0 ^ 2 + 16 ^ 2 + 3 ^ 2) = 16,1555, |n| = sqrt(13^2 + 13^2 + (-21)^2) = 29, v x n = (-445, 39, 208).

Então sin(α) = 16,567 / (16,1555 * 29) = 0,0348.

Resposta: sin(α) = 0,0348.

g) Cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3: Vamos encontrar o vetor normal do plano A1A2A3 usando as coordenadas dos pontos A1, A2 e A3, que já encontramos no ponto a): n = (13 , 13, -21).

O plano coordenado Oxy passa pelos pontos (1, 0, 0) e (0, 1, 0), portanto, seu vetor normal será igual a (0, 0, 1).

O cosseno do ângulo entre vetores normais pode ser encontrado usando a fórmula: cos(α)

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Em particular, as tarefas exigem:

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• traçar equações de retas que passam por dois pontos;
• encontrar uma linha reta perpendicular a um determinado plano e passando por um determinado ponto;
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• traçar a equação de um plano que passa por um determinado ponto e é perpendicular a uma determinada reta;
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