Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 19

Nr. 1.19. Gegeben sind vier Punkte A1(8;–6;4); A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Gleichung der Ebene A1A2A3: Um die Gleichung einer Ebene zu erstellen, die durch drei Punkte verläuft, verwenden wir die Formel: (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * ( x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

Setzen wir die Koordinaten der Punkte A1, A2 und A3 in diese Formel ein: ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8 ) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

Vereinfachen wir die Gleichung und erhalten die Antwort: 13x + 13y – 21z – 74 = 0.

b) Gleichung der Geraden A1A2: Um die Gleichung einer Geraden zu erstellen, die durch zwei Punkte verläuft, verwenden wir die Formel: x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

Setzen wir die Koordinaten der Punkte A1 und A2 in diese Formel ein: x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

Wir erhalten die Gleichung der Geraden A1A2: x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) Gleichung der Linie A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3: Die Linie A4M muss senkrecht zur Ebene A1A2A3 sein, was bedeutet, dass der Richtungsvektor dieser Linie kollinear zur Normalen der Ebene sein muss. Die Normale zur Ebene A1A2A3 kann als Vektorprodukt ihrer beiden Richtungsvektoren ermittelt werden:

n = (A2 – A1) x (A3 – A1)

Ersatzvektoren A2, A1 und A3: n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

Nun verwenden wir die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft: x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

Wir erhalten die Gleichung der Geraden A4M: x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2: Die Gerade A3N ist parallel zur Geraden A1A2, was bedeutet, dass ihr Richtungsvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden A1A2 sein muss, d. h. v = A2 - A1 = (2 , 11, -9).

Die Linie A3N verläuft durch den Punkt A3, daher können wir die Formel für die Gleichung einer Linie verwenden, die durch den Punkt verläuft und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft: x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

Wir erhalten die Gleichung der Geraden A3N: (x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) Gleichung einer Ebene, die durch Punkt A4 senkrecht zur Linie A1A2 verläuft: Die Linie A1A2 wurde bereits in Punkt b) definiert. Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:

u = A2 - A1 = (2, 11, -9).

Da die gewünschte Ebene senkrecht zur Linie A1A2 stehen muss, muss ihr Normalenvektor kollinear zum Vektorprodukt des Richtungsvektors der Linie A1A2 und des Vektors sein, der von Punkt A4 zu einem beliebigen Punkt auf dieser Linie geht, beispielsweise von Punkt A1:

n = u x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22).

Jetzt können wir die Gleichung der gewünschten Ebene durch Punkt A4 und den gefundenen Normalenvektor schreiben: 135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0.

f) Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3: Ermitteln Sie den Richtungsvektor der Geraden A1A4 mithilfe der Koordinaten der Punkte A1 und A4: v = A4 - A1 = (0, 16, 3).

Suchen wir nun den Normalenvektor der Ebene A1A2A3, den wir bereits in Punkt a gefunden haben): n = (13, 13, -21).

Der Sinus des Winkels zwischen den Vektoren v und n kann mit der Formel ermittelt werden: sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|),

wobei |v x n| - Länge des Vektorprodukts von v und n, |v| und |n| - Längen der Vektoren v bzw. n.

Berechnen wir die Werte: |v| = sqrt(0^2 + 16^2 + 3^2) = 16,1555, |n| = sqrt(13^2 + 13^2 + (-21)^2) = 29, v x n = (-445, 39, 208).

Dann ist sin(α) = 16,567 / (16,1555 * 29) = 0,0348.

Antwort: sin(α) = 0,0348.

g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3: Finden wir den Normalenvektor der Ebene A1A2A3 anhand der Koordinaten der Punkte A1, A2 und A3, die wir bereits in Punkt a) gefunden haben): n = (13 , 13, -21).

Die Koordinatenebene Oxy verläuft durch die Punkte (1, 0, 0) und (0, 1, 0), daher ist ihr Normalenvektor gleich (0, 0, 1).

Der Kosinus des Winkels zwischen Normalenvektoren kann mit der Formel ermittelt werden: cos(α)

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 19 ist ein digitales Produkt, das eine Aufgabe zum selbstständigen Arbeiten in Mathematik für Schüler der Sekundarstufe darstellt.

Dieses Produkt ist im digitalen Store erhältlich und kann in elektronischer Form erworben werden. Das Produkt ist in einem schönen HTML-Format gestaltet, wodurch es angenehm zu lesen und einfach zu bedienen ist.

Die Aufgabe besteht aus mehreren Aufgaben, die es den Studierenden ermöglichen, ihre Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik zu festigen sowie Fähigkeiten zum selbstständigen Arbeiten und Lösen mathematischer Probleme zu entwickeln.

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 19 ist für Oberstufenschüler geeignet und kann als zusätzliches Lehrmaterial zur Vorbereitung auf Prüfungen oder Olympiaden in Mathematik eingesetzt werden.

Dank des schönen HTML-Designs des Produkts können Studierende die benötigte Aufgabe leicht finden und sich schnell mit deren Bedingungen vertraut machen. Darüber hinaus ermöglicht das Design des Produkts dem Lehrer, erledigte Aufgaben einfach zu überprüfen und die Arbeit der Schüler zu bewerten.

Allgemeine Produktmerkmale:

• Titel: Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 19
• Produkttyp: Digitales Produkt
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Die Veröffentlichung „Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 19“ enthält Probleme aus der Geometrie zur Aufstellung von Ebenen- und Liniengleichungen, zur Berechnung von Winkeln und Rechtwinkligkeit von Linien. Die Aufgaben geben die Koordinaten von Punkten im dreidimensionalen Raum an, und Sie müssen Gleichungen für Ebenen und Linien erstellen, die durch diese Punkte verlaufen, sowie die Winkelwerte berechnen und die Rechtwinkligkeit der Linien überprüfen.

Die Aufgaben erfordern insbesondere:

• Erstellen Sie Gleichungen für Ebenen, die durch drei Punkte verlaufen.
• Stellen Sie Gleichungen für Geraden auf, die durch zwei Punkte verlaufen.
• Finden Sie eine gerade Linie, die senkrecht zu einer bestimmten Ebene steht und durch einen bestimmten Punkt verläuft.
• Finden Sie eine Linie parallel zu einer bestimmten Linie.
• Stellen Sie eine Gleichung für eine Ebene auf, die durch einen bestimmten Punkt verläuft und senkrecht zu einer bestimmten Linie steht.
• Berechnen Sie den Sinus und Cosinus der Winkel zwischen gegebenen Linien und Ebenen.
• Überprüfen Sie die Rechtwinkligkeit der angegebenen Linien.

Der Käufer kann sich bei Fragen zur Problemlösung an die E-Mail-Adresse des Verkäufers wenden.

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