Ryabushko A.P. IDZ 3.1 버전 19

1.19호. 4개의 점 A1(8;–6;4)이 주어졌습니다. A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7). 방정식을 작성해야 합니다.

a) 평면 A1A2A3의 방정식: 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 컴파일하려면 다음 공식을 사용합니다. (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * ( x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

점 A1, A2 및 A3의 좌표를 다음 공식으로 대체해 보겠습니다. ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8 ) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

방정식을 단순화하고 답을 구해보겠습니다: 13x + 13y - 21z - 74 = 0.

b) 직선 방정식 A1A2: 두 점을 통과하는 직선 방정식을 작성하려면 다음 공식을 사용합니다. x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

점 A1과 A2의 좌표를 다음 공식으로 대체해 보겠습니다. x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

직선 A1A2의 방정식을 얻습니다. x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) 평면 A1A2A3에 수직인 선 A4M의 방정식: 선 A4M은 평면 A1A2A3에 수직이어야 합니다. 이는 이 선의 방향 벡터가 평면의 법선과 동일선상에 있어야 함을 의미합니다. A1A2A3 평면에 대한 법선은 두 방향 벡터의 벡터 곱으로 찾을 수 있습니다.

n = (A2 - A1) x (A3 - A1)

벡터 A2, A1 및 A3 대체: n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

이제 점을 통과하고 주어진 벡터에 평행한 선의 방정식에 대한 공식을 사용해 보겠습니다. x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

우리는 직선 A4M의 방정식을 얻습니다: x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N의 방정식: 직선 A3N은 직선 A1A2에 평행합니다. 이는 방향 벡터가 직선 A1A2의 방향 벡터와 같아야 함을 의미합니다. 즉, v = A2 - A1 = (2 , 11, -9).

선 A3N은 점 A3을 통과하므로 점을 통과하고 주어진 벡터에 평행한 선의 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

직선 A3N의 방정식을 얻습니다. (x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식: 선 A1A2는 이미 점 b)에 정의되어 있습니다. 직선 A1A2의 방향 벡터를 구해 봅시다:

u = A2 - A1 = (2, 11, -9).

원하는 평면은 선 A1A2에 수직이어야 하므로 법선 벡터는 선 A1A2의 방향 벡터와 점 A4에서 이 선의 임의 점(예: 점 A1)으로 가는 벡터의 벡터 곱과 동일선상에 있어야 합니다.

n = u x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22).

이제 점 A4와 발견된 법선 벡터(135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0)를 통해 원하는 평면의 방정식을 작성할 수 있습니다.

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도 사인: 점 A1과 A4의 좌표를 사용하여 직선 A1A4의 방향 벡터를 찾습니다. v = A4 - A1 = (0, 16, 3).

이제 a) 지점에서 이미 찾은 평면 A1A2A3의 법선 벡터를 찾아보겠습니다. n = (13, 13, -21).

벡터 v와 n 사이 각도의 사인은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|),

여기서 |v x n| - v와 n의 벡터 곱의 길이, |v| 그리고 |n| - 각각 벡터 v와 n의 길이.

값을 계산해 봅시다: |v| = sqrt(0^2 + 16^2 + 3^2) = 16.1555, |n| = sqrt(13^2 + 13^2 + (-21)^2) = 29, v x n = (-445, 39, 208).

그러면 sin(α) = 16.567 / (16.1555 * 29) = 0.0348이 됩니다.

답: sin(α) = 0.0348.

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인: 점 a에서 이미 찾은 점 A1, A2 및 A3의 좌표를 사용하여 평면 A1A2A3의 법선 벡터를 찾습니다. n = (13 , 13, -21).

좌표 평면 Oxy는 점 (1, 0, 0)과 (0, 1, 0)을 통과하므로 법선 벡터는 (0, 0, 1)과 같습니다.

법선 벡터 사이의 각도의 코사인은 공식 cos(α)를 사용하여 찾을 수 있습니다.

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• 두 점을 통과하는 선의 방정식을 작성합니다.
• 주어진 평면에 수직이고 주어진 점을 통과하는 직선을 찾습니다.
• 주어진 선과 평행한 선을 찾으세요.
• 주어진 점을 통과하고 주어진 선에 수직인 평면의 방정식을 작성합니다.
• 주어진 선과 평면 사이의 각도의 사인과 코사인을 계산합니다.
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