Ryabushko A.P. IDZ3.1 version 19

N° 1.19. Étant donné quatre points A1(8;–6;4); A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7). Il faut créer des équations :

a) Équation du plan A1A2A3 : Pour compiler l'équation d'un plan passant par trois points, on utilise la formule : (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * ( x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

Remplaçons les coordonnées des points A1, A2 et A3 dans cette formule : ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8 ) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

Simplifions l'équation et obtenons la réponse : 13x + 13y - 21z - 74 = 0.

b) Équation de la droite A1A2 : Pour compiler l'équation d'une droite passant par deux points, on utilise la formule : x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

Remplaçons les coordonnées des points A1 et A2 dans cette formule : x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

On obtient l'équation de la droite A1A2 : x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) Équation de la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3 : La droite A4M doit être perpendiculaire au plan A1A2A3, ce qui signifie que le vecteur direction de cette droite doit être colinéaire à la normale au plan. La normale au plan A1A2A3 peut être trouvée comme le produit vectoriel de ses deux vecteurs directeurs :

n = (A2 - A1) x (A3 - A1)

Vecteurs de substitution A2, A1 et A3 : n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

Utilisons maintenant la formule de l'équation d'une droite passant par un point et parallèle à un vecteur donné : x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

On obtient l'équation de la droite A4M : x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) Équation de la droite A3N parallèle à la droite A1A2 : La droite A3N est parallèle à la droite A1A2, ce qui signifie que son vecteur direction doit être égal au vecteur direction de la droite A1A2, c'est-à-dire v = A2 - A1 = (2 , 11, -9).

La droite A3N passe par le point A3, on peut donc utiliser la formule de l'équation d'une droite passant par le point et parallèle à un vecteur donné : x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

On obtient l'équation de la droite A3N : (x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) Équation d'un plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2 : La droite A1A2 a déjà été définie au point b). Trouvons le vecteur directeur de la droite A1A2 :

u = A2 - A1 = (2, 11, -9).

Puisque le plan souhaité doit être perpendiculaire à la droite A1A2, son vecteur normal doit être colinéaire au produit vectoriel du vecteur direction de la droite A1A2 et du vecteur allant du point A4 à n'importe quel point de cette droite, par exemple, du point A1 :

n = u x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22).

Nous pouvons maintenant écrire l'équation du plan souhaité passant par le point A4 et le vecteur normal trouvé : 135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0.

f) Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 : Trouver le vecteur direction de la droite A1A4 en utilisant les coordonnées des points A1 et A4 : v = A4 - A1 = (0, 16, 3).

Trouvons maintenant le vecteur normal du plan A1A2A3, que nous avons déjà trouvé au point a) : n = (13, 13, -21).

Le sinus de l'angle entre les vecteurs v et n peut être trouvé à l'aide de la formule : sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|),

où |vxn| - longueur du produit vectoriel de v et n, |v| et |n| - longueurs des vecteurs v et n, respectivement.

Calculons les valeurs : |v| = sqrt(0^2 + 16^2 + 3^2) = 16,1555, |n| = carré (13 ^ 2 + 13 ^ 2 + (-21) ^ 2) = 29, v x n = (-445, 39, 208).

Alors sin(α) = 16,567 / (16,1555 * 29) = 0,0348.

Réponse : sin(α) = 0,0348.

g) Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 : Trouvons le vecteur normal du plan A1A2A3 en utilisant les coordonnées des points A1, A2 et A3, que nous avons déjà trouvées au point a) : n = (13 , 13, -21).

Le plan de coordonnées Oxy passe par les points (1, 0, 0) et (0, 1, 0), donc son vecteur normal sera égal à (0, 0, 1).

Le cosinus de l'angle entre les vecteurs normaux peut être trouvé à l'aide de la formule : cos(α)

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La publication "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 19" contient des problèmes de géométrie sur l'élaboration d'équations de plans et de lignes, le calcul des angles et de la perpendiculaire des lignes. Les problèmes donnent les coordonnées des points dans l'espace tridimensionnel, et vous devez créer des équations pour les plans et les lignes passant par ces points, ainsi que calculer les valeurs des angles et vérifier la perpendiculaire des lignes.

Les tâches nécessitent notamment :

• établir des équations de plans passant par trois points ;
• établir des équations de droites passant par deux points ;
• trouver une droite perpendiculaire à un plan donné et passant par un point donné ;
• trouver une droite parallèle à une droite donnée ;
• dresser l'équation d'un plan passant par un point donné et perpendiculaire à une droite donnée ;
• calculer le sinus et le cosinus des angles entre des lignes et des plans donnés ;
• vérifier la perpendiculaire des lignes données.

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