Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versione 19

N. 1.19. Dati quattro punti A1(8;–6;4); A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7). È necessario creare equazioni:

a) Equazione del piano A1A2A3: Per compilare l'equazione del piano passante per tre punti, utilizziamo la formula: (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * ( x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

Sostituiamo le coordinate dei punti A1, A2 e A3 in questa formula: ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8 ) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

Semplifichiamo l'equazione e otteniamo la risposta: 13x + 13y - 21z - 74 = 0.

b) Equazione della retta A1A2: Per compilare l'equazione di una retta passante per due punti, utilizziamo la formula: x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

Sostituiamo le coordinate dei punti A1 e A2 in questa formula: x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

Otteniamo l'equazione della retta A1A2: x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) Equazione della linea A4M perpendicolare al piano A1A2A3: La linea A4M deve essere perpendicolare al piano A1A2A3, il che significa che il vettore di direzione di questa linea deve essere collineare alla normale al piano. La normale al piano A1A2A3 può essere trovata come il prodotto vettoriale dei suoi due vettori di direzione:

n = (A2 - A1) x (A3 - A1)

Vettori sostitutivi A2, A1 e A3: n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

Usiamo ora la formula per l'equazione di una linea passante per un punto e parallela a un dato vettore: x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

Otteniamo l'equazione della retta A4M: x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) Equazione della retta A3N parallela alla retta A1A2: La retta A3N è parallela alla retta A1A2, il che significa che il suo vettore di direzione deve essere uguale al vettore di direzione della retta A1A2, cioè v = A2 - A1 = (2 , 11, -9).

La linea A3N passa per il punto A3, quindi possiamo usare la formula per l'equazione di una linea passante per il punto e parallela a un dato vettore: x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

Otteniamo l'equazione della retta A3N: (x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) Equazione di un piano passante per il punto A4, perpendicolare alla linea A1A2: La linea A1A2 è già stata definita al punto b). Troviamo il vettore direzione della retta A1A2:

u = A2 - A1 = (2, 11, -9).

Poiché il piano desiderato deve essere perpendicolare alla linea A1A2, il suo vettore normale deve essere collineare al prodotto vettoriale del vettore direzione della linea A1A2 e del vettore che va dal punto A4 a qualsiasi punto di questa linea, ad esempio dal punto A1:

n = u x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22).

Ora possiamo scrivere l'equazione del piano desiderato passante per il punto A4 e il vettore normale trovato: 135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0.

f) Seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3: Trovare il vettore direzione della retta A1A4 utilizzando le coordinate dei punti A1 e A4: v = A4 - A1 = (0, 16, 3).

Troviamo ora il vettore normale del piano A1A2A3, che abbiamo già trovato al punto a): n = (13, 13, -21).

Il seno dell'angolo compreso tra i vettori v e n può essere trovato utilizzando la formula: sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|),

dove |vxn| - lunghezza del prodotto vettoriale di v e n, |v| e |n| - lunghezze dei vettori v e n, rispettivamente.

Calcoliamo i valori: |v| = quadrato(0^2 + 16^2 + 3^2) = 16,1555, |n| = quadrato(13^2 + 13^2 + (-21)^2) = 29, v x n = (-445, 39, 208).

Quindi sin(α) = 16,567 / (16,1555 * 29) = 0,0348.

Risposta: sin(α) = 0,0348.

g) Coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3: Troviamo il vettore normale del piano A1A2A3 utilizzando le coordinate dei punti A1, A2 e A3, che abbiamo già trovato al punto a): n = (13 , 13, -21).

Il piano delle coordinate Oxy passa per i punti (1, 0, 0) e (0, 1, 0), quindi il suo vettore normale sarà uguale a (0, 0, 1).

Il coseno dell'angolo tra i vettori normali può essere trovato utilizzando la formula: cos(α)

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