リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 バージョン 19

1.19号。 4 つの点 A1(8;–6;4) が与えられるとします。 A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7)。方程式を作成する必要があります。

a) 平面の​​方程式 A1A2A3: 3 点を通る平面の方程式をコンパイルするには、次の公式を使用します: (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * ( x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

点 A1、A2、A3 の座標を次の式に代入してみましょう: ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8 ) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

方程式を単純化して答えを求めましょう: 13x + 13y - 21z - 74 = 0。

b) 直線の方程式 A1A2: 2 点を通る直線の方程式をコンパイルするには、次の公式を使用します: x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

点 A1 と A2 の座標を次の式に代入してみましょう: x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

直線 A1A2 の方程式が得られます: x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) 平面 A1A2A3 に垂直な線 A4M の方程式: 線 A4M は平面 A1A2A3 に垂直でなければなりません。これは、この線の方向ベクトルが平面の法線と同一直線上にある必要があることを意味します。平面 A1A2A3 の法線は、その 2 つの方向ベクトルのベクトル積として求められます。

n = (A2 - A1) x (A3 - A1)

ベクトル A2、A1、および A3 を置換します: n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

ここで、点を通過し、指定されたベクトルに平行な直線の方程式の公式を使用してみましょう: x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

直線 A4M の方程式が得られます: x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式: 直線 A3N は直線 A1A2 に平行です。これは、その方向ベクトルが直線 A1A2 の方向ベクトルに等しくなければならないことを意味します。つまり、v = A2 - A1 = (2) 、11、-9）。

直線 A3N は点 A3 を通過するため、その点を通過し、指定されたベクトルに平行な直線の方程式の公式を使用できます: x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

直線 A3N の方程式が得られます: (x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式: 線 A1A2 は点 b) ですでに定義されています。直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

u = A2 - A1 = (2, 11, -9)。

目的の平面は線分 A1A2 に垂直でなければならないため、その法線ベクトルは、線分 A1A2 の方向ベクトルと、点 A4 からこの線上の任意の点 (たとえば点 A1 など) に向かうベクトルのベクトル積と同一直線上にある必要があります。

n = u x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22)。

これで、点 A4 と見つかった法線ベクトルを通る目的の平面の方程式、135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0 を書くことができます。

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦: 点 A1 と A4 の座標を使用して直線 A1A4 の方向ベクトルを求めます: v = A4 - A1 = (0, 16, 3)。

ここで、点 a) ですでに見つけた平面 A1A2A3 の法線ベクトルを見つけてみましょう: n = (13, 13, -21)。

ベクトル v と n の間の角度の正弦は、次の式を使用して求めることができます: sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|)

ここで |v x n| - v と n のベクトル積の長さ、|v|そして|n| - それぞれベクトル v と n の長さ。

値を計算しましょう: |v| = sqrt(0^2 + 16^2 + 3^2) = 16.1555, |n| = sqrt(13^2 + 13^2 + (-21)^2) = 29、v x n = (-445, 39, 208)。

したがって、sin(α) = 16.567 / (16.1555 * 29) = 0.0348 となります。

答え: sin(α) = 0.0348。

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦: 点 a) ですでに見つけた点 A1、A2、および A3 の座標を使用して、平面 A1A2A3 の法線ベクトルを見つけましょう: n = (13) 、13、-21）。

座標平面 Oxy は点 (1, 0, 0) と (0, 1, 0) を通過するため、その法線ベクトルは (0, 0, 1) に等しくなります。

法線ベクトル間の角度の余弦は、次の公式を使用して求めることができます: cos(α)

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特に、タスクには次のものが必要です。

• 3 つの点を通る平面の方程式を作成します。
• 2 点を通る直線の方程式を作成します。
• 指定された平面に垂直で、指定された点を通過する直線を見つけます。
• 与えられた線に平行な線を見つけます。
• 与えられた点を通り、与えられた線に垂直な平面の方程式を作成します。
• 指定された線と平面の間の角度のサインとコサインを計算します。
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