里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 版本 19

第 1.19 号。给定四个点 A1(8;–6;4); A2(10;5;–5); A3(5;6;–8); A4(8;10;7)。有必要创建方程：

a) 平面方程 A1A2A3：为了编写经过三点的平面方程，我们使用以下公式： (x - x1) * (y2 - y1) * (z3 - z1) + (y - y1) * ( z2 - z1) * ( x3 - x1) + (z - z1) * (x2 - x1) * (y3 - y1) - (z - z1) * (y2 - y1) * (x3 - x1) - (y - y1) * (x2 - x1) * (z3 - z1) - (x - x1) * (z2 - z1) * (y3 - y1) = 0

我们将点 A1、A2 和 A3 的坐标代入以下公式： ( x - 8 ) * ( 5 + 6 + 8 ) + ( y + 6 ) * ( - 5 + 5 ) + ( z - 4 ) * ( 10 - 8 ) - (z - 4) * (5 + 6) - (y + 6) * (10 - 8) - (x - 8) * (-5 - 6) = 0

让我们简化方程并得到答案：13x + 13y - 21z - 74 = 0。

b) 直线方程 A1A2：为了编制经过两点的直线方程，我们使用以下公式： x = x1 + t * ( x2 - x1 ) y = y1 + t * ( y2 - y1 ) z = z1 + t * ( z2 - z1)

我们将点 A1 和 A2 的坐标代入以下公式： x = 8 + t * 2 y = -6 + t * 11 z = 4 - t * 9

我们得到直线A1A2的方程：x - 8 = (y + 6) / 11 = (z - 4) / (-9)

c) 直线 A4M 垂直于平面 A1A2A3 的方程： 直线 A4M 必须垂直于平面 A1A2A3，这意味着该直线的方向矢量必须与该平面的法线共线。平面 A1A2A3 的法线可以作为其两个方向向量的向量积找到：

n = (A2 - A1) x (A3 - A1)

替换向量 A2、A1 和 A3：n = (2, 11, -9) x (-3, 12, -12) = (-108, -6, 42)

现在让我们使用穿过一点并平行于给定向量的直线方程的公式： x = 8 - 108t y = 10 - 6t z = 7 + 42t

得到直线方程A4M： x - 8 = -(108/42)(z - 7) = -(3/7)(y - 10)

d) 直线 A3N 与直线 A1A2 平行的方程： 直线 A3N 与直线 A1A2 平行，即其方向向量必须等于直线 A1A2 的方向向量，即 v = A2 - A1 = (2 , 11, -9)。

直线 A3N 通过点 A3，因此我们可以使用穿过该点并平行于给定向量的直线方程公式： x = 5 + 2t y = 6 + 11t z = -8 - 9t

得到直线方程A3N：(x - 5) / 2 = (y - 6) / 11 = (z + 8) / (-9)

e) 穿过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面方程： 线 A1A2 已在 b) 点中定义。求直线A1A2的方向向量：

u = A2 - A1 = (2, 11, -9)。

由于所需平面必须垂直于线 A1A2，因此其法向量必须与线 A1A2 的方向向量与从点 A4 到该线上任意点（例如从点 A1）的向量的向量积共线：

n = u x (A4 - A1) = (2, 11, -9) x (0, 16, 3) = (135, -6, -22)。

现在我们可以写出通过点 A4 的所需平面的方程和找到的法向量：135(x - 8) - 6(y - 10) - 22(z - 7) = 0。

f) 直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的夹角正弦：利用点 A1 和 A4 的坐标求直线 A1A4 的方向矢量：v = A4 - A1 = (0, 16, 3)。

现在我们求平面 A1A2A3 的法向量，我们已经在 a) 点找到了它：n = (13, 13, -21)。

向量 v 和 n 之间角度的正弦值可以使用以下公式求出：sin(α) = (|v x n|) / (|v| * |n|)，

其中 |v x n| - v 和 n 的向量积的长度 |v|和|n| - 分别是向量 v 和 n 的长度。

让我们计算一下值：|v| = sqrt(0^2 + 16^2 + 3^2) = 16.1555, |n| = sqrt(13^2 + 13^2 + (-21)^2) = 29，v x n = (-445, 39, 208)。

那么 sin(α) = 16.567 / (16.1555 * 29) = 0.0348。

答案：sin(α) = 0.0348。

g) 坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦： 让我们使用在点 a) 中已经找到的点 A1、A2 和 A3 的坐标来求平面 A1A2A3 的法线向量： n = (13 ，13，-21）。

坐标平面 Oxy 经过点 (1, 0, 0) 和 (0, 1, 0)，因此其法向量将等于 (0, 0, 1)。

法向量之间的角度的余弦可以使用以下公式求得：cos(α)

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