Solução para o problema 13.2.25 da coleção de Kepe O.E.

Consideremos um ponto material com massa m = 4 kg movendo-se ao longo de uma linha reta horizontal. Precisamos determinar depois de quanto tempo a velocidade do ponto diminuirá 10 vezes, desde que a força de resistência ao movimento seja igual a R = 0,8v.

Usamos a segunda lei de Newton:

$$ F = em $$

onde F é a força que atua sobre um ponto material, m é sua massa e é a aceleração do ponto.

A força de resistência ao movimento R pode ser expressa em termos de velocidade v:

$$R = 0,8v$$

Então a equação do movimento do ponto material terá a forma:

$$ m\frac{dv}{dt} = -R $$

onde t é o tempo decorrido desde o início do movimento.

Substituindo a expressão por R, obtemos:

$$ m\frac{dv}{dt} = -0,8v $$

Dividindo ambos os lados da equação por m e movendo as variáveis, obtemos:

$$ \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m}dt $$

Vamos integrar esta equação da velocidade inicial v0 à velocidade v ao longo do tempo t:

$$ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m} \int_0^t dt $$

Após a integração obtemos:

$$ \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{0,8}{m}t $$

Vamos expressar v em termos de v0:

$$ v = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$

Agora você pode encontrar o tempo após o qual a velocidade do ponto diminuirá 10 vezes. Para fazer isso, substitua o valor v0/10 em vez de v na equação v = v0e^(-0,8t/m):

$$ \frac{v_0}{10} = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$

Dividindo ambos os lados por v0 e tomando o logaritmo natural, obtemos:

$$ \ln\frac{1}{10} = -\frac{0,8}{m}t $$

Daqui:

$$ t = \frac{m}{0,8} \ln 10 \approx 11,5 \text{ сек} $$

Assim, após 11,5 segundos a velocidade do ponto material diminuirá 10 vezes com uma força de resistência ao movimento igual a 0,8v.

Solução para o problema 13.2.25 da coleção de Kepe O..

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Solução do problema 13.2.25 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o tempo após o qual a velocidade de um ponto material com massa de 4 kg movendo-se ao longo de uma linha reta horizontal diminuirá 10 vezes com uma determinada força de resistência ao movimento R = 0,8v.

Neste problema, você pode usar a segunda lei de Newton F = ma, onde F é a força que atua em um ponto material, m é sua massa, a é a aceleração. Você também pode usar a lei da variação da energia cinética ΔK = K2 - K1 = W, onde K1 e K2 são as energias cinéticas inicial e final de um ponto material, respectivamente, W é o trabalho realizado pela força de resistência ao movimento.

Primeiro você precisa determinar a aceleração de um ponto material. Da segunda lei de Newton F = ma obtemos que a = F/m. De acordo com as condições do problema, a força de resistência ao movimento é igual a R = 0,8v, onde v é a velocidade do ponto material. Assim, a = 0,8v/m.

Em seguida, você precisa determinar o tempo após o qual a velocidade do ponto material diminuirá 10 vezes. Vamos denotar a velocidade inicial do ponto material como v0, e a velocidade final como v. Então, da lei da variação da energia cinética ΔK = K2 - K1 = W obtemos:

m(v^2 - v0^2)/2 = -RWt,

onde t é o tempo, W = -RWt é o trabalho realizado pela força de resistência ao movimento.

Para que a velocidade diminua 10 vezes, é necessário que v = v0/10. Substituindo este valor na equação acima e resolvendo-o para t, obtemos:

t = (m/8R) * ln(10)

Substituindo os valores m = 4 kg e R = 0,8v/m na fórmula, obtemos:

t ≈ 11,5 seg.

Assim, a resposta ao problema: após 11,5 segundos, a velocidade de um ponto material com massa de 4 kg movendo-se ao longo de uma linha reta horizontal diminuirá 10 vezes com uma determinada força de resistência ao movimento R = 0,8v.

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