Consideriamo un punto materiale di massa m = 4 kg che si muove lungo una retta orizzontale. Dobbiamo determinare dopo quanto tempo la velocità del punto diminuirà di 10 volte, a condizione che la forza di resistenza al movimento sia pari a R = 0,8v.
Usiamo la seconda legge di Newton:
$$ F = in $$
dove F è la forza che agisce su un punto materiale, m è la sua massa ed è l'accelerazione del punto.
La forza di resistenza al movimento R può essere espressa in termini di velocità v:
$$R = 0,8v $$
Quindi l'equazione del moto del punto materiale assumerà la forma:
$$ m\frac{dv}{dt} = -R $$
dove t è il tempo trascorso dall'inizio del movimento.
Sostituendo l'espressione per R, otteniamo:
$$ m\frac{dv}{dt} = -0,8v $$
Dividendo entrambi i membri dell'equazione per m e spostando le variabili, otteniamo:
$$ \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m}dt $$
Integriamo questa equazione dalla velocità iniziale v0 alla velocità v attraverso il tempo t:
$$ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m} \int_0^t dt $$
Dopo l'integrazione otteniamo:
$$ \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{0,8}{m}t $$
Esprimiamo v in termini di v0:
$$ v = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$
Ora puoi trovare il tempo dopo il quale la velocità del punto diminuirà di 10 volte. Per fare ciò, sostituisci il valore v0/10 invece di v nell'equazione v = v0e^(-0.8t/m):
$$ \frac{v_0}{10} = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$
Dividendo entrambi i membri per v0 e prendendo il logaritmo naturale, otteniamo:
$$ \ln\frac{1}{10} = -\frac{0,8}{m}t $$
Da qui:
$$ t = \frac{m}{0,8} \ln 10 \circa 11,5 \text{ сек} $$
Pertanto dopo 11,5 secondi la velocità del punto materiale diminuirà di 10 volte con una forza di resistenza al movimento pari a 0,8v.
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Soluzione al problema 13.2.25 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il tempo dopo il quale la velocità di un punto materiale con una massa di 4 kg che si muove lungo una linea retta orizzontale diminuirà di 10 volte per una data forza di resistenza al movimento R = 0,8 v.
In questo problema puoi usare la seconda legge di Newton F = ma, dove F è la forza che agisce su un punto materiale, m è la sua massa, a è l'accelerazione. Puoi anche utilizzare la legge della variazione dell'energia cinetica ΔK = K2 - K1 = W, dove K1 e K2 sono rispettivamente l'energia cinetica iniziale e finale di un punto materiale, W è il lavoro svolto dalla forza di resistenza al movimento.
Per prima cosa devi determinare l'accelerazione di un punto materiale. Dalla seconda legge di Newton F = ma si ottiene che a = F/m. Secondo le condizioni del problema, la forza di resistenza al movimento è pari a R = 0,8v, dove v è la velocità del punto materiale. Pertanto, a = 0,8 v/m.
Successivamente, è necessario determinare il tempo dopo il quale la velocità del punto materiale diminuirà di 10 volte. Indichiamo la velocità iniziale del punto materiale con v0 e la velocità finale con v. Quindi dalla legge della variazione dell'energia cinetica ΔK = K2 - K1 = W otteniamo:
m(v^2 - v0^2)/2 = -RWt,
dove t è il tempo, W = -RWt è il lavoro compiuto dalla forza di resistenza al movimento.
Affinché la velocità diminuisca di 10 volte è necessario che v = v0/10. Sostituendo questo valore nell'equazione sopra e risolvendolo per t, otteniamo:
t = (m/8R) * ln(10)
Sostituendo nella formula i valori m = 4 kg e R = 0,8v/m otteniamo:
t ≈ 11,5 secondi
Quindi, la risposta al problema: dopo 11,5 secondi, la velocità di un punto materiale con una massa di 4 kg che si muove lungo una linea retta orizzontale diminuirà di 10 volte con una data forza di resistenza al movimento R = 0,8v.
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