Considérons un point matériel de masse m = 4 kg se déplaçant le long d'une droite horizontale. Il faut déterminer au bout de quel temps la vitesse de la pointe diminuera de 10 fois, à condition que la force de résistance au mouvement soit égale à R = 0,8v.
Nous utilisons la deuxième loi de Newton :
$$ F = en $$
où F est la force agissant sur un point matériel, m est sa masse et est l'accélération du point.
La force de résistance au mouvement R peut être exprimée en termes de vitesse v :
$$R = 0,8v $$
Alors l’équation du mouvement du point matériel prendra la forme :
$$ m\frac{dv}{dt} = -R $$
où t est le temps écoulé depuis le début du mouvement.
En remplaçant l'expression de R, on obtient :
$$ m\frac{dv}{dt} = -0,8v $$
En divisant les deux côtés de l'équation par m et en déplaçant les variables, on obtient :
$$ \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m}dt $$
Intégrons cette équation de la vitesse initiale v0 à la vitesse v à travers le temps t :
$$ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m} \int_0^t dt $$
Après intégration on obtient :
$$ \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{0,8}{m}t $$
Exprimons v en fonction de v0 :
$$ v = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$
Vous pouvez maintenant trouver le temps après lequel la vitesse du point diminuera de 10 fois. Pour ce faire, remplacez la valeur v0/10 par v dans l'équation v = v0e^(-0,8t/m) :
$$ \frac{v_0}{10} = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$
En divisant les deux côtés par v0 et en prenant le logarithme népérien, on obtient :
$$ \ln\frac{1}{10} = -\frac{0,8}{m}t $$
D'ici:
$$ t = \frac{m}{0,8} \ln 10 \approx 11,5 \text{ сек} $$
Ainsi, après 11,5 secondes, la vitesse du point matériel diminuera de 10 fois avec une force de résistance au mouvement égale à 0,8v.
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Solution au problème 13.2.25 de la collection Kepe O.?. consiste à déterminer le temps après lequel la vitesse d'un point matériel d'une masse de 4 kg se déplaçant le long d'une ligne droite horizontale diminuera de 10 fois à une force de résistance au mouvement donnée R = 0,8v.
Dans ce problème, vous pouvez utiliser la deuxième loi de Newton F = ma, où F est la force agissant sur un point matériel, m est sa masse, a est l'accélération. Vous pouvez également utiliser la loi de changement d'énergie cinétique ΔK = K2 - K1 = W, où K1 et K2 sont respectivement les énergies cinétiques initiale et finale d'un point matériel, W est le travail effectué par la force de résistance au mouvement.
Vous devez d’abord déterminer l’accélération d’un point matériel. De la deuxième loi de Newton F = ma nous obtenons que a = F/m. Selon les conditions du problème, la force de résistance au mouvement est égale à R = 0,8v, où v est la vitesse du point matériel. Ainsi, a = 0,8v/m.
Ensuite, vous devez déterminer le temps après lequel la vitesse du point matériel diminuera de 10 fois. Notons la vitesse initiale du point matériel par v0 et la vitesse finale par v. Puis à partir de la loi de variation de l'énergie cinétique ΔK = K2 - K1 = W on obtient :
m(v^2 - v0^2)/2 = -RWt,
où t est le temps, W = -RWt est le travail effectué par la force de résistance au mouvement.
Pour que la vitesse diminue de 10 fois, il faut que v = v0/10. En substituant cette valeur dans l'équation ci-dessus et en la résolvant pour t, nous obtenons :
t = (m/8R) * ln(10)
En substituant les valeurs m = 4 kg et R = 0,8v/m dans la formule, on obtient :
t ≈ 11,5 s
Ainsi, la réponse au problème : après 11,5 secondes, la vitesse d'un point matériel d'une masse de 4 kg se déplaçant le long d'une ligne droite horizontale diminuera de 10 fois à une force de résistance au mouvement donnée R = 0,8v.
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