Lösung für Aufgabe 13.2.25 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Betrachten wir einen materiellen Punkt mit der Masse m = 4 kg, der sich entlang einer horizontalen Geraden bewegt. Wir müssen bestimmen, nach welcher Zeit die Geschwindigkeit des Punktes um das Zehnfache abnimmt, vorausgesetzt, dass die Widerstandskraft gegen die Bewegung R = 0,8 V beträgt.

Wir verwenden das zweite Newtonsche Gesetz:

$$ F = in $$

Dabei ist F die auf einen materiellen Punkt wirkende Kraft, m seine Masse und die Beschleunigung des Punktes.

Die Bewegungswiderstandskraft R kann als Geschwindigkeit v ausgedrückt werden:

$$ R = 0,8v $$

Dann nimmt die Bewegungsgleichung des materiellen Punktes die Form an:

$$ m\frac{dv}{dt} = -R $$

Dabei ist t die seit Beginn der Bewegung verstrichene Zeit.

Wenn wir R durch den Ausdruck ersetzen, erhalten wir:

$$ m\frac{dv}{dt} = -0,8v $$

Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch m dividieren und die Variablen verschieben, erhalten wir:

$$ \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m}dt $$

Integrieren wir diese Gleichung von der Anfangsgeschwindigkeit v0 bis zur Geschwindigkeit v über die Zeit t:

$$ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m} \int_0^t dt $$

Nach der Integration erhalten wir:

$$ \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{0,8}{m}t $$

Drücken wir v durch v0 aus:

$$ v = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$

Jetzt können Sie die Zeit ermitteln, nach der die Geschwindigkeit des Punktes um das Zehnfache abnimmt. Setzen Sie dazu den Wert v0/10 anstelle von v in die Gleichung v = v0e^(-0,8t/m) ein:

$$ \frac{v_0}{10} = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$

Wenn wir beide Seiten durch v0 dividieren und den natürlichen Logarithmus bilden, erhalten wir:

$$ \ln\frac{1}{10} = -\frac{0,8}{m}t $$

Von hier:

$$ t = \frac{m}{0,8} \ln 10 \ approx 11,5 \text{ сек} $$

Somit verringert sich die Geschwindigkeit des materiellen Punktes nach 11,5 Sekunden um das Zehnfache bei einer Bewegungswiderstandskraft von 0,8 V.

Lösung zu Aufgabe 13.2.25 aus der Sammlung von Kepe O..

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Lösung zu Aufgabe 13.2.25 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Zeit zu bestimmen, nach der die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes mit einem Gewicht von 4 kg, der sich entlang einer horizontalen Geraden bewegt, bei einer gegebenen Bewegungswiderstandskraft R = 0,8 V um das Zehnfache abnimmt.

In diesem Problem können Sie das zweite Newtonsche Gesetz F = ma verwenden, wobei F die auf einen materiellen Punkt wirkende Kraft, m seine Masse und a die Beschleunigung ist. Sie können auch das Gesetz der Änderung der kinetischen Energie ΔK = K2 - K1 = W verwenden, wobei K1 und K2 die anfänglichen und endgültigen kinetischen Energien eines materiellen Punktes bzw. W die von der Widerstandskraft gegen die Bewegung geleistete Arbeit ist.

Zuerst müssen Sie die Beschleunigung eines materiellen Punktes bestimmen. Aus Newtons zweitem Gesetz F = ma erhalten wir a = F/m. Gemäß den Bedingungen des Problems ist die Bewegungswiderstandskraft gleich R = 0,8 v, wobei v die Geschwindigkeit des materiellen Punktes ist. Somit ist a = 0,8 v/m.

Als nächstes müssen Sie die Zeit bestimmen, nach der die Geschwindigkeit des Materialpunktes um das Zehnfache abnimmt. Bezeichnen wir die Anfangsgeschwindigkeit des materiellen Punktes mit v0 und die Endgeschwindigkeit mit v. Aus dem Gesetz der Änderung der kinetischen Energie ΔK = K2 - K1 = W erhalten wir dann:

m(v^2 - v0^2)/2 = -RWt,

Dabei ist t die Zeit, W = -RWt die von der Widerstandskraft gegen die Bewegung geleistete Arbeit.

Damit sich die Geschwindigkeit um das Zehnfache verringert, muss v = v0/10 sein. Wenn wir diesen Wert in die obige Gleichung einsetzen und nach t auflösen, erhalten wir:

t = (m/8R) * ln(10)

Wenn wir die Werte m = 4 kg und R = 0,8 v/m in die Formel einsetzen, erhalten wir:

t ≈ 11,5 Sek

Somit lautet die Antwort auf das Problem: Nach 11,5 Sekunden verringert sich die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes mit einer Masse von 4 kg, der sich entlang einer horizontalen Geraden bewegt, bei einer gegebenen Bewegungswiderstandskraft R = 0,8 V um das Zehnfache.

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