Consideremos un punto material con masa m = 4 kg que se mueve a lo largo de una línea recta horizontal. Necesitamos determinar después de cuánto tiempo la velocidad del punto disminuirá 10 veces, siempre que la fuerza de resistencia al movimiento sea igual a R = 0,8v.
Usamos la segunda ley de Newton:
$$ F = en $$
donde F es la fuerza que actúa sobre un punto material, m es su masa y es la aceleración del punto.
La fuerza de resistencia al movimiento R se puede expresar en términos de velocidad v:
$$R = 0,8v $$
Entonces la ecuación de movimiento del punto material tomará la forma:
$$ m\frac{dv}{dt} = -R $$
donde t es el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento.
Sustituyendo la expresión por R, obtenemos:
$$ m\frac{dv}{dt} = -0,8v $$
Dividiendo ambos lados de la ecuación por m y moviendo las variables, obtenemos:
$$ \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m}dt $$
Integramos esta ecuación desde la velocidad inicial v0 a la velocidad v durante el tiempo t:
$$ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -\frac{0,8}{m} \int_0^t dt $$
Después de la integración obtenemos:
$$ \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{0,8}{m}t $$
Expresemos v en términos de v0:
$$ v = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$
Ahora puedes encontrar el tiempo después del cual la velocidad del punto disminuirá 10 veces. Para hacer esto, sustituya el valor v0/10 en lugar de v en la ecuación v = v0e^(-0.8t/m):
$$ \frac{v_0}{10} = v_0e^{ -\frac{0,8}{m}t} $$
Dividiendo ambos lados por v0 y tomando el logaritmo natural, obtenemos:
$$ \ln\frac{1}{10} = -\frac{0,8}{m}t $$
De aquí:
$$ t = \frac{m}{0,8} \ln 10 \aprox 11,5 \text{ сек} $$
Así, después de 11,5 segundos, la velocidad del punto material disminuirá 10 veces con una fuerza de resistencia al movimiento igual a 0,8v.
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Solución al problema 13.2.25 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar el tiempo después del cual la velocidad de un punto material que pesa 4 kg, que se mueve a lo largo de una línea recta horizontal, disminuirá 10 veces con una fuerza de resistencia al movimiento dada R = 0,8v.
En este problema, puedes usar la segunda ley de Newton F = ma, donde F es la fuerza que actúa sobre un punto material, m es su masa y a es la aceleración. También se puede utilizar la ley del cambio de energía cinética ΔK = K2 - K1 = W, donde K1 y K2 son las energías cinéticas inicial y final de un punto material, respectivamente, W es el trabajo realizado por la fuerza de resistencia al movimiento.
Primero necesitas determinar la aceleración de un punto material. De la segunda ley de Newton F = ma obtenemos que a = F/m. Según las condiciones del problema, la fuerza de resistencia al movimiento es igual a R = 0,8v, donde v es la velocidad del punto material. Por tanto, a = 0,8v/m.
A continuación, debe determinar el tiempo después del cual la velocidad del punto material disminuirá 10 veces. Denotemos la velocidad inicial del punto material como v0 y la velocidad final como v. Entonces de la ley del cambio de energía cinética ΔK = K2 - K1 = W obtenemos:
m(v^2 - v0^2)/2 = -RWt,
donde t es el tiempo, W = -RWt es el trabajo realizado por la fuerza de resistencia al movimiento.
Para que la velocidad disminuya 10 veces, es necesario que v = v0/10. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior y resolviendo para t, obtenemos:
t = (m/8R) * ln(10)
Sustituyendo los valores m = 4 kg y R = 0,8v/m en la fórmula, obtenemos:
t ≈ 11,5 segundos
Así, la respuesta al problema: después de 11,5 segundos, la velocidad de un punto material con una masa de 4 kg que se mueve a lo largo de una línea recta horizontal disminuirá 10 veces con una fuerza de resistencia dada al movimiento R = 0,8v.
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Solución del problema K1 opción 27 (K1-27) - Dievsky V.A. - К1-27 Необходимо определить траекторию движения точки в соответствии с уравнением движения. Для зада ... ...