Nº 1. A equação canônica da elipse tem a forma: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ onde $(x_0 ,y_0)$ são as coordenadas do centro da elipse, $a$ e $b$ são os comprimentos dos semieixos maior e menor, respectivamente. A equação canônica de uma hipérbole tem a forma: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ onde $(x_0 ,y_0)$ são as coordenadas do centro da hipérbole, $a$ e $b$ são os comprimentos dos semieixos maior e menor, respectivamente. A equação canônica de uma parábola tem a forma: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ onde $(x_0,y_0)$ são as coordenadas do vértice da parábola, $a$ é um parâmetro que determina a direção e a forma da parábola.
Para determinados pontos $A$ e $B$, foco $F$ e excentricidade $\varepsilon$, a equação canônica da elipse tem a forma: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ onde $a$ e $b$ são determinados a partir das relações $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, onde $c = FB$, e as coordenadas de foco $F$ são calculadas pela fórmula $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.
Para determinados parâmetros, a equação canônica da hipérbole tem a forma: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ onde $a$ e $b$ são determinados a partir das relações $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, onde $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$, e as coordenadas de foco $F$ são calculadas pela fórmula $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.
Para uma determinada diretriz $D$, a equação canônica de uma parábola tem a forma: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ onde $p$ é a distância do vértice da parábola à diretriz, e as coordenadas do vértice da parábola são $(x_0 ,y_0)$ são calculadas como o ponto médio do segmento que conecta o ponto $A$ e o ponto de intersecção da diretriz com o eixo $Oy$.
Nº 2. A equação de um círculo com centro no ponto $A(x_A,y_A)$ e raio $r$ tem a forma: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ O centro do círculo está no eixo $Oy$, então sua coordenada é $y_A=-2$. O raio do círculo pode ser encontrado substituindo $x$ e $y$ na equação da hipérbole pelas coordenadas de seus vértices, obtemos $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Assim, a equação de um círculo tem a forma: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Substituindo $x_A=0$ e $y_A=-2$, obtemos a equação final do círculo: $$x^2+(y+2)^2=68.$$
N ° 3. Seja o ponto $M(x,y)$ localizado a uma distância de $3d$ da reta $x=-5$, onde $d$ é a distância do ponto $M$ ao ponto $A( 6,1)$. Então a distância do ponto $M$ ao ponto $A$ é $\frac{d}{3}$, e podemos escrever a equação de um círculo com centro no ponto $A$ e raio $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Além disso, o ponto $M$ está no perpendicular baixada do ponto $ A$ até a linha reta $x=-5$. A equação desta perpendicular é $x=6$, então a coordenada $x$ do ponto $M$ é $6$. Assim, a equação da reta que passa pelo ponto $M$ é: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x-6)^2.$$
Nº 4. Vamos passar das coordenadas polares $(\rho, \varphi)$ para as coordenadas cartesianas $(x,y)$ usando as fórmulas $x=\rho\cos\varphi$ e $y=\rho\sin\varphi$. Substituindo $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$, obtemos a equação da curva em coordenadas cartesianas: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Esta equação descreve uma curva chamada "cardióide".
Número 5. Para determinadas equações paramétricas $x=f(t)$, $y=g(t)$, a curva pode ser encontrada traçando a dependência de $y$ em $x$ conforme o parâmetro $t$ muda de $0$ para $2\pi $.
Por exemplo, considere uma curva definida parametricamente: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ Para $t=0$ a curva está no ponto $(1,0)$, para $t= \frac {\pi}{2}$ - no ponto $(0,1)$, para $t=\pi$ - no ponto $(-1,0)$, e assim por diante. O gráfico desta curva é um círculo de raio unitário centrado na origem.
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IDZ Ryabushko 4.1 Opção 8 é uma tarefa matemática que inclui as seguintes tarefas:
Componha equações canônicas para uma elipse, hipérbole e parábola passando por determinados pontos e tendo determinados parâmetros (semi-eixos maiores e menores, excentricidade, distância focal, etc.).
Encontre a equação de um círculo que passa pelo vértice de uma hipérbole e tem centro em um determinado ponto.
Escreva uma equação para uma linha reta que está a uma distância três vezes maior de uma determinada linha reta do que de um determinado ponto.
Construa uma curva em coordenadas polares dada pela equação ρ = 3·(1 - cos^2φ).
Construa uma curva dada por equações paramétricas (0 ≤ t ≤ 2π).
Esta tarefa foi projetada para testar conhecimentos e habilidades na área de geometria analítica e análise matemática.
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