IDZ Ryabushko 4.1 Opción 8

N° 1. La ecuación canónica de la elipse tiene la forma: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ donde $(x_0, y_0)$ son las coordenadas del centro de la elipse, $a$ y $b$ son las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente. La ecuación canónica de una hipérbola tiene la forma: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ donde $(x_0, y_0)$ son las coordenadas del centro de la hipérbola, $a$ y $b$ son las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente. La ecuación canónica de una parábola tiene la forma: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ donde $(x_0,y_0)$ son las coordenadas del vértice de la parábola, $a$ es una Parámetro que determina la dirección y forma de la parábola.

Para los puntos $A$ y $B$ dados, el foco $F$ y la excentricidad $\varepsilon$, la ecuación canónica de la elipse tiene la forma: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ donde $a$ y $b$ se determinan a partir de las relaciones $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, donde $c = FB$, y las coordenadas de enfoque $F$ se calculan mediante la fórmula $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Para parámetros dados, la ecuación de hipérbola canónica tiene la forma: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ donde $a$ y $b$ se determinan a partir de las relaciones $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, donde $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$, y las coordenadas de enfoque $F$ se calculan mediante la fórmula $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Para una directriz dada $D$, la ecuación canónica de una parábola tiene la forma: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ donde $p$ es la distancia desde el vértice de la parábola a la directriz, y las coordenadas del vértice de la parábola son $(x_0,y_0)$ se calculan como el punto medio del segmento que conecta el punto $A$ y el punto de intersección de la directriz con el eje $Oy$.

No. 2. La ecuación de un círculo con centro en el punto $A(x_A,y_A)$ y radio $r$ tiene la forma: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ El centro del círculo se encuentra en el eje $Oy$, por lo que su coordenada es $y_A=-2$. El radio del círculo se puede encontrar reemplazando $x$ e $y$ en la ecuación de la hipérbola con las coordenadas de sus vértices, obtenemos $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Así, la ecuación de un círculo tiene la forma: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Sustituyendo $x_A=0$ y $y_A=-2$, obtenemos la ecuación final del círculo: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

Numero 3. Sea el punto $M(x,y)$ ubicado a una distancia de $3d$ de la recta $x=-5$, donde $d$ es la distancia del punto $M$ al punto $A( 6,1)$. Entonces la distancia del punto $M$ al punto $A$ es $\frac{d}{3}$, y podemos escribir la ecuación de un círculo con centro en el punto $A$ y radio $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Además, el punto $M$ se encuentra en el perpendicular caída desde el punto $ A$ a la línea recta $x=-5$. La ecuación de esta perpendicular es $x=6$, por lo que la coordenada $x$ del punto $M$ es $6$. Así, la ecuación de la recta que pasa por el punto $M$ es: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x-6)^2.$$

No. 4. Pasemos de las coordenadas polares $(\rho\cos\varphi)$ a las coordenadas cartesianas $(x,y)$ usando las fórmulas $x=\rho\cos\varphi$ y $y=\rho\sin\varphi$. Sustituyendo $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$, obtenemos la ecuación de la curva en coordenadas cartesianas: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Esta ecuación describe una curva llamada "cardioide".

Numero 5. Para ecuaciones paramétricas dadas $x=f(t)$, $y=g(t)$, la curva se puede encontrar trazando la dependencia de $y$ en $x$ cuando el parámetro $t$ cambia de $0$ a $2\pi$.

Por ejemplo, considere una curva definida paramétricamente: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ Para $t=0$ la curva está en el punto $(1,0)$, para $t= \frac {\pi}{2}$ - en el punto $(0,1)$, para $t=\pi$ - en el punto $(-1,0)$, y así sucesivamente. La gráfica de esta curva es un círculo de radio unitario centrado en el origen.

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IDZ Ryabushko 4.1 Opción 8 es una tarea matemática que incluye las siguientes tareas:

1. Redactar ecuaciones canónicas para una elipse, hipérbola y parábola que pasan por puntos dados y tienen parámetros dados (semiejes mayor y menor, excentricidad, distancia focal, etc.).

2. Encuentra la ecuación de una circunferencia que pasa por el vértice de una hipérbola y tiene centro en un punto dado.

3. Escribe una ecuación para una línea recta que está a una distancia tres veces mayor de una línea recta dada que de un punto dado.

4. Construye una curva en coordenadas polares dada por la ecuación ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Construya una curva dada por ecuaciones paramétricas (0 ≤ t ≤ 2π).

Esta tarea está diseñada para evaluar conocimientos y habilidades en el campo de la geometría analítica y el análisis matemático.

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