IDZ Ryabushko 4.1 옵션 8

1위. 타원의 정식 방정식 형식은 다음과 같습니다. $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ 여기서 $(x_0 ,y_0)$는 타원 중심의 좌표이고, $a$와 $b$는 각각 주요 반축과 보조 반축의 길이입니다. 쌍곡선의 정식 방정식의 형식은 다음과 같습니다: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ 여기서 $(x_0 ,y_0)$는 쌍곡선 중심 좌표이고, $a$ 및 $b$는 각각 주 반축과 단축 반축의 길이입니다. 포물선의 정식 방정식의 형식은 다음과 같습니다. $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ 여기서 $(x_0,y_0)$는 포물선 정점의 좌표이고, $a$는 포물선의 방향과 모양을 결정하는 매개변수입니다.

주어진 점 $A$ 및 $B$, 초점 $F$ 및 이심률 $\varepsilon$에 대해 타원의 정식 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ 여기서 $a$ 및 $b$는 $a = \frac{BF}{2}$, $b 관계에서 결정됩니다. = \sqrt{a^2 - c^2}$, 여기서 $c = FB$이고 초점 좌표 $F$는 $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ 공식으로 계산됩니다. varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

주어진 매개변수에 대해 표준 쌍곡선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ 여기서 $a$ 및 $b$는 $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$ 관계에서 결정됩니다. 여기서 $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$ 및 초점 좌표 $F$는 공식 $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

주어진 방향선 $D$에 대해 포물선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ 여기서 $p$는 포물선 꼭지점으로부터의 거리입니다. 포물선의 정점 좌표 $(x_0,y_0)$는 점 $A$와 준선과 축 $Oy$의 교점을 연결하는 선분의 ​​중간점으로 계산됩니다.

2번. 중심점이 $A(x_A,y_A)$이고 반지름이 $r$인 원의 방정식은 $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ 형식을 갖습니다. 원의 중심은 $Oy$ 축에 있으므로 좌표는 $y_A=-2$입니다. 원의 반경은 쌍곡선 방정식의 $x$ 및 $y$를 정점 좌표로 대체하여 찾을 수 있습니다. $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. 따라서 원의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ $x_A=0$ 및 $y_A=-2$를 대체하여 원의 최종 방정식을 얻습니다. $$x^2+(y+2)^2=68.$$

3번. 점 $M(x,y)$가 직선 $x=-5$로부터 $3d$ 거리에 위치한다고 가정합니다. 여기서 $d$는 $M$ 점에서 $A( 점까지의 거리입니다. 6,1)$. 그러면 $M$ 지점에서 $A$ 지점까지의 거리는 $\frac{d}{3}$이고, 중심이 $A$이고 반경이 $\frac{d}{인 원의 방정식을 작성할 수 있습니다. 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ 또한 점 $M$은 다음 위에 있습니다. $ A$ 지점에서 $x=-5$ 직선으로 수직이 떨어졌습니다. 이 수직의 방정식은 $x=6$이므로 점 $M$의 $x$ 좌표는 $6$입니다. 따라서 점 $M$을 지나는 선의 방정식은 다음과 같습니다: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

4번. $x=\rho\cos\varphi$ 및 $y=\rho\sin\varphi$ 공식을 사용하여 극좌표 $(\rho, \varphi)$에서 데카르트 좌표 $(x,y)$로 이동해 보겠습니다. $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$를 대입하면 직교 좌표계의 곡선 방정식을 얻습니다. $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ 이 방정식은 "카디오이드"라는 곡선을 설명합니다.

5호. 주어진 매개변수 방정식 $x=f(t)$, $y=g(t)$에 대해 매개변수 $t$가 $0$에서 $0$에서 $2\pi $.

예를 들어 매개변수적으로 정의된 곡선을 생각해 보겠습니다. $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ $t=0$의 경우 곡선은 $(1,0)$ 지점에 있고 $t=의 경우 곡선은 $(1,0)$ 지점에 있습니다. \frac {\pi}{2}$ - $(0,1)$ 지점에서, $t=\pi$의 경우 - $(-1,0)$ 지점에서, 등등. 이 곡선의 그래프는 원점을 중심으로 하는 단위 반지름의 원입니다.

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IDZ Ryabushko 4.1 옵션 8은 다음 작업을 포함하는 수학 작업입니다.

1. 주어진 점을 통과하고 주어진 매개변수(주 및 단축, 이심률, 초점 거리 등)를 갖는 타원, 쌍곡선 및 포물선에 대한 표준 방정식을 작성합니다.

2. 쌍곡선의 꼭지점을 지나고 주어진 점에 중심을 갖는 원의 방정식을 구합니다.

3. 주어진 직선으로부터 주어진 점으로부터의 거리보다 3배 더 먼 거리에 있는 직선에 대한 방정식을 쓰십시오.

4. 방정식 ρ = 3·(1 - cos^2ψ)로 주어진 극좌표에서 곡선을 구성합니다.

5. 매개변수 방정식(0 ≤ t ≤ 2π)으로 주어진 곡선을 구성합니다.

이 작업은 분석 기하학 및 수학적 분석 분야의 지식과 기술을 테스트하도록 설계되었습니다.

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