IDZ Ryabushko 4.1 Option 8

N°1. L'équation canonique de l'ellipse a la forme : $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ où $(x_0 ,y_0)$ sont les coordonnées du centre de l'ellipse, $a$ et $b$ sont respectivement les longueurs des demi-axes majeur et mineur. L'équation canonique d'une hyperbole a la forme : $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ où $(x_0 ,y_0)$ sont les coordonnées du centre de l'hyperbole, $a$ et $b$ sont respectivement les longueurs des demi-axes majeur et mineur. L'équation canonique d'une parabole a la forme : $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ où $(x_0,y_0)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole, $a$ est un paramètre qui détermine la direction et la forme de la parabole.

Pour des points $A$ et $B$ donnés, une focalisation $F$ et une excentricité $\varepsilon$, l'équation canonique de l'ellipse a la forme : $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ où $a$ et $b$ sont déterminés à partir des relations $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, où $c = FB$, et les coordonnées de focus $F$ sont calculées par la formule $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Pour des paramètres donnés, l'équation canonique de l'hyperbole a la forme : $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ où $a$ et $b$ sont déterminés à partir des relations $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, où $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$, et les coordonnées de focalisation $F$ sont calculées par la formule $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Pour une directrice $D$ donnée, l'équation canonique d'une parabole a la forme : $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ où $p$ est la distance au sommet de la parabole à la directrice, et les coordonnées du sommet de la parabole sont $(x_0 ,y_0)$ sont calculées comme le milieu du segment reliant le point $A$ et le point d'intersection de la directrice avec l'axe $Oy$.

N°2. L'équation d'un cercle de centre au point $A(x_A,y_A)$ et de rayon $r$ a la forme : $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ Le centre du cercle se trouve sur l'axe $Oy$, donc sa coordonnée est $y_A=-2$. Le rayon du cercle peut être trouvé en remplaçant $x$ et $y$ dans l'équation de l'hyperbole par les coordonnées de ses sommets, on obtient $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Ainsi, l'équation d'un cercle a la forme : $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ En remplaçant $x_A=0$ et $y_A=-2$, on obtient l'équation finale du cercle : $$x^2+(y+2)^2=68.$$

N ° 3. Soit le point $M(x,y)$ situé à une distance de $3d$ de la droite $x=-5$, où $d$ est la distance du point $M$ au point $A( 6,1)$. Alors la distance du point $M$ au point $A$ est $\frac{d}{3}$, et on peut écrire l'équation d'un cercle de centre au point $A$ et de rayon $\frac{d}{ 3}$ : $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ De plus, le point $M$ se trouve sur le perpendiculaire tombée du point $ A$ à la droite $x=-5$. L'équation de cette perpendiculaire est $x=6$, donc la coordonnée $x$ du point $M$ est $6$. Ainsi, l'équation de la droite passant par le point $M$ est : $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x-6)^2.$$

Numéro 4. Passons des coordonnées polaires $(\rho, \varphi)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y)$ en utilisant les formules $x=\rho\cos\varphi$ et $y=\rho\sin\varphi$. En remplaçant $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$, on obtient l'équation de la courbe en coordonnées cartésiennes : $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Cette équation décrit une courbe appelée « cardioïde ».

N ° 5. Pour des équations paramétriques données $x=f(t)$, $y=g(t)$, la courbe peut être trouvée en traçant la dépendance de $y$ sur $x$ lorsque le paramètre $t$ passe de $0$ à $2\pi $.

Par exemple, considérons une courbe définie paramétriquement : $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ Pour $t=0$ la courbe est au point $(1,0)$, pour $t= \frac {\pi}{2}$ - au point $(0,1)$, pour $t=\pi$ - au point $(-1,0)$, et ainsi de suite. Le graphique de cette courbe est un cercle de rayon unité centré à l'origine.

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 est une tâche mathématique qui comprend les tâches suivantes :

1. Composer des équations canoniques pour une ellipse, une hyperbole et une parabole passant par des points donnés et ayant des paramètres donnés (demi-axes majeurs et mineurs, excentricité, distance focale, etc.).

2. Trouver l'équation d'un cercle passant par le sommet d'une hyperbole et ayant un centre en un point donné.

3. Écrivez une équation pour une droite qui est à une distance trois fois plus grande d'une droite donnée que d'un point donné.

4. Construisez une courbe en coordonnées polaires donnée par l'équation ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Construire une courbe donnée par des équations paramétriques (0 ≤ t ≤ 2π).

Cette tâche est conçue pour tester les connaissances et les compétences dans le domaine de la géométrie analytique et de l'analyse mathématique.

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