IDZ Ryabushko 4.1 Opzione 8

N. 1. L'equazione canonica dell'ellisse ha la forma: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ dove $(x_0 ,y_0)$ sono le coordinate del centro dell'ellisse, $a$ e $b$ sono rispettivamente le lunghezze del semiasse maggiore e minore. L'equazione canonica di un'iperbole ha la forma: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ dove $(x_0 ,y_0)$ sono le coordinate del centro dell'iperbole, $a$ e $b$ sono rispettivamente le lunghezze dei semiassi maggiore e minore. L'equazione canonica di una parabola ha la forma: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ dove $(x_0,y_0)$ sono le coordinate del vertice della parabola, $a$ è a parametro che determina la direzione e la forma della parabola.

Dati i punti $A$ e $B$, fuoco $F$ ed eccentricità $\varepsilon$, l'equazione canonica dell'ellisse ha la forma: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ dove $a$ e $b$ sono determinati dalle relazioni $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, dove $c = FB$ e le coordinate del fuoco $F$ sono calcolate con la formula $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Per determinati parametri, l'equazione canonica dell'iperbole ha la forma: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ dove $a$ e $b$ sono determinati dalle relazioni $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, dove $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$ e le coordinate del fuoco $F$ sono calcolate con la formula $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Data la direttrice $D$, l'equazione canonica di una parabola ha la forma: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ dove $p$ è la distanza dal vertice della parabola alla direttrice e le coordinate del vertice della parabola sono $(x_0 ,y_0)$ vengono calcolate come il punto medio del segmento che collega il punto $A$ e il punto di intersezione della direttrice con l'asse $Oy$.

N. 2. L'equazione di una circonferenza con centro nel punto $A(x_A,y_A)$ e raggio $r$ ha la forma: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ Il centro del cerchio giace sull'asse $Oy$, quindi la sua coordinata è $y_A=-2$. Il raggio del cerchio può essere trovato sostituendo $x$ e $y$ nell'equazione dell'iperbole con le coordinate dei suoi vertici, otteniamo $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Pertanto, l'equazione di un cerchio ha la forma: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Sostituendo $x_A=0$ e $y_A=-2$, otteniamo l'equazione finale della circonferenza: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

Numero 3. Sia il punto $M(x,y)$ a distanza $3d$ dalla retta $x=-5$, dove $d$ è la distanza dal punto $M$ al punto $A( 6,1)$. Allora la distanza dal punto $M$ al punto $A$ è $\frac{d}{3}$, e possiamo scrivere l'equazione di una circonferenza con centro nel punto $A$ e raggio $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Inoltre, il punto $M$ giace su perpendicolare caduta dal punto $ A$ alla retta $x=-5$. L'equazione di questa perpendicolare è $x=6$, quindi la coordinata $x$ del punto $M$ è $6$. Pertanto, l'equazione della retta passante per il punto $M$ è: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

N. 4. Passiamo dalle coordinate polari $(\rho, \varphi)$ alle coordinate cartesiane $(x,y)$ utilizzando le formule $x=\rho\cos\varphi$ e $y=\rho\sin\varphi$. Sostituendo $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$ otteniamo l'equazione della curva in coordinate cartesiane: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Questa equazione descrive una curva chiamata "cardioide".

N. 5. Per determinate equazioni parametriche $x=f(t)$, $y=g(t)$, la curva può essere trovata tracciando la dipendenza di $y$ da $x$ quando il parametro $t$ cambia da $0$ a $2\pi$.

Ad esempio, consideriamo una curva definita parametricamente: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ Per $t=0$ la curva è nel punto $(1,0)$, per $t= \frac {\pi}{2}$ - nel punto $(0,1)$, for $t=\pi$ - nel punto $(-1,0)$ e così via. Il grafico di questa curva è un cerchio di raggio unitario centrato nell'origine.

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IDZ Ryabushko 4.1 Opzione 8 è un compito di matematica che include i seguenti compiti:

1. Comporre equazioni canoniche per un'ellisse, un'iperbole e una parabola passanti per determinati punti e aventi determinati parametri (semiassi maggiore e minore, eccentricità, lunghezza focale, ecc.).

2. Trovare l'equazione della circonferenza passante per il vertice di un'iperbole e avente centro in un punto dato.

3. Scrivi un'equazione per una retta che si trova a una distanza tre volte maggiore da una data retta che da un dato punto.

4. Costruisci una curva in coordinate polari data dall'equazione ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Costruisci una curva data da equazioni parametriche (0 ≤ t ≤ 2π).

Questo compito è progettato per testare conoscenze e abilità nel campo della geometria analitica e dell'analisi matematica.

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