IDZ リャブシュコ 4.1 オプション 8

1番。楕円の正準方程式は次の形式になります: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ここで、 $(x_0 ,y_0)$ は楕円の中心の座標、 $a$ と $b$ はそれぞれ長半軸と短半軸の長さです。双曲線の正準方程式の形式は次のとおりです: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ここで、 $(x_0 ,y_0)$ は双曲線の中心の座標、 $a$ と $b$ はそれぞれ長半軸と短半軸の長さです。放物線の正準方程式は次の形式になります。 $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ ここで、$(x_0,y_0)$ は放物線の頂点の座標、$a$ は a放物線の方向と形状を決定するパラメータ。

与えられた点 $A$ と $B$、焦点 $F$ および離心率 $\varepsilon$ に対して、楕円の正準方程式は次の形式になります。 $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ ここで、$a$ と $b$ は $a = \frac{BF}{2}$, $b の関係から決定されます。 = \sqrt{a^2 - c^2}$、ここで $c = FB$、焦点座標 $F$ は式 $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\) によって計算されます。バレプシロン a}{\sqrt{1-\ バレプシロン ^2}}、y_A\right)$。

指定されたパラメーターの場合、正準双曲線方程式は次の形式になります: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ ここで、$a$ と $b$ は関係 $a = \frac{1}{2\varepsilon}$、$b = \sqrt{a^2 + c^2}$ から決定されます。ここで、$c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$、焦点座標 $F$ は式 $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1) によって計算されます。 +\バレプシロン^2}}、y_A\right)$。

与えられた準線 $D$ に対して、放物線の正準方程式は次の形式になります。 $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ ここで、$p$ は放物線の頂点からの距離です。点 $A$ と準線と軸 $Oy$ の交点を結ぶ線分の中点として、放物線の頂点の座標 $(x_0 ,y_0)$ が計算されます。

2番。点 $A(x_A,y_A)$ を中心とし、半径 $r$ を持つ円の方程式は次の形式になります: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$円の中心は $Oy$ 軸上にあるため、その座標は $y_A=-2$ になります。円の半径は、双曲線方程式の $x$ と $y$ をその頂点の座標に置き換えることでわかります。 $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) となります。 ^2}$。したがって、円の方程式は次の形式になります。 $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ $x_A=0$ と $y_A=-2$ を代入すると、円の最終方程式が得られます: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

3番。点 $M(x,y)$ が直線 $x=-5$ から $3d$ の距離にあるとします。ここで、$d$ は点 $M$ から点 $A( 6,1)$。すると、点 $M$ から点 $A$ までの距離は $\frac{d}{3}$ となり、点 $A$ を中心とし半径 $\frac{d}{3}$ の円の方程式を書くことができます。 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ また、点 $M$ は点 $ A$ から直線 $x=-5$ まで下がった垂線。この垂線の方程式は $x=6$ なので、点 $M$ の $x$ 座標は $6$ になります。したがって、点 $M$ を通る直線の方程式は次のようになります: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

4番。 $x=\rho\cos\varphi$ と $y=\rho\sin\varphi$ の式を使用して、極座標 $(\rho, \varphi)$ からデカルト座標 $(x,y)$ に移動してみましょう。 $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$ を代入すると、デカルト座標での曲線の方程式が得られます: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ この方程式は、「カーディオイド」と呼ばれる曲線を表します。

5番。与えられたパラメトリック方程式 $x=f(t)$、$y=g(t)$ について、パラメータ $t$ が $0$ から$2\pi $。

たとえば、パラメトリックに定義された曲線を考えてみましょう: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ $t=0$ の場合、曲線は点 $(1,0)$ にあり、$t= の場合\frac {\pi}{2}$ - ポイント $(0,1)$、$t=\pi$ の場合 - ポイント $(-1,0)$ など。この曲線のグラフは、原点を中心とする単位半径の円です。

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IDZ Ryabushko 4.1 オプション 8 は、次のタスクを含む数学タスクです。

1. 指定された点を通り、指定されたパラメーター (長半軸、短半軸、離心率、焦点距離など) を持つ楕円、双曲線、放物線の正準方程式を作成します。

2. 双曲線の頂点を通り、特定の点を中心とする円の方程式を求めます。

3. 指定された直線からの距離が、指定された点からの距離の 3 倍にある直線の方程式を書きます。

4. 方程式 ρ = 3・(1 - cos^2φ) で与えられる極座標で曲線を作成します。

5. パラメトリック方程式 (0 ≤ t ≤ 2π) で与えられる曲線を作成します。

このタスクは、解析幾何学および数学的解析の分野における知識とスキルをテストするように設計されています。

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