IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8

Nr. 1. Den kanoniske ligningen til ellipsen har formen: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ hvor $(x_0 ,y_0)$ er koordinatene til midten av ellipsen, $a$ og $b$ er lengdene til henholdsvis stor- og moll-halvaksen. Den kanoniske ligningen til en hyperbel har formen: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ der $(x_0 ,y_0)$ er koordinatene til midten av hyperbelen, $a$ og $b$ er lengdene til henholdsvis hoved- og moll-halvaksene. Den kanoniske ligningen til en parabel har formen: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ hvor $(x_0,y_0)$ er koordinatene til parabelens toppunkt, $a$ er en parameter som bestemmer retningen og formen til parablen.

For gitte punkter $A$ og $B$, fokus $F$ og eksentrisitet $\varepsilon$, har den kanoniske ligningen for ellipsen formen: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ der $a$ og $b$ bestemmes fra relasjonene $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, hvor $c = FB$, og fokuskoordinatene $F$ beregnes med formelen $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

For gitte parametere har den kanoniske hyperbelligningen formen: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ der $a$ og $b$ bestemmes fra relasjonene $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, hvor $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$, og fokuskoordinatene $F$ beregnes med formelen $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

For en gitt retningslinje $D$, har den kanoniske ligningen til en parabel formen: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ der $p$ er avstanden fra toppunktet til parablen til retningslinjen, og koordinatene til parabelens toppunkt er $(x_0 ,y_0)$ beregnes som midtpunktet til segmentet som forbinder punktet $A$ og skjæringspunktet for retningslinjen med aksen $Oy$.

Nr. 2. Ligningen til en sirkel med sentrum i punktet $A(x_A,y_A)$ og radius $r$ har formen: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ Sentrum av sirkelen ligger på aksen $Oy$, så koordinaten er $y_A=-2$. Radiusen til sirkelen kan bli funnet ved å erstatte $x$ og $y$ i hyperbelligningen med koordinatene til dens toppunkter, vi får $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Således har ligningen til en sirkel formen: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Ved å erstatte $x_A=0$ og $y_A=-2$, får vi den endelige ligningen for sirkelen: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

Nr. 3. La punktet $M(x,y)$ være plassert i en avstand på $3d$ fra den rette linjen $x=-5$, der $d$ er avstanden fra punktet $M$ til punktet $A( 6,1)$. Da er avstanden fra punktet $M$ til punktet $A$ $\frac{d}{3}$, og vi kan skrive ligningen til en sirkel med sentrum i punktet $A$ og radius $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Også punktet $M$ ligger på vinkelrett falt fra punkt $ A$ til den rette linjen $x=-5$. Ligningen til denne perpendikulæren er $x=6$, så $x$-koordinaten til punktet $M$ er $6$. Således er ligningen for linjen som går gjennom punktet $M$: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

Nr. 4. La oss gå fra polare koordinater $(\rho, \varphi)$ til kartesiske koordinater $(x,y)$ ved å bruke formlene $x=\rho\cos\varphi$ og $y=\rho\sin\varphi$. Ved å erstatte $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$, får vi ligningen for kurven i kartesiske koordinater: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Denne ligningen beskriver en kurve som kalles en "kardioide".

Nr. 5. For gitte parametriske ligninger $x=f(t)$, $y=g(t)$, kan kurven bli funnet ved å plotte avhengigheten av $y$ på $x$ ettersom parameteren $t$ endres fra $0$ til $2\pi $.

Tenk for eksempel på en parametrisk definert kurve: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ For $t=0$ er kurven ved punktet $(1,0)$, for $t= \frac {\pi}{2}$ - ved punkt $(0,1)$, for $t=\pi$ - ved punkt $(-1,0)$, og så videre. Grafen til denne kurven er en sirkel med enhetsradius sentrert ved origo.

«IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8» er et digitalt produkt i pdf-format beregnet for bruk av elever når de skal fullføre individuelle lekser i matematikk. Dette dokumentet inneholder oppgaver om en rekke emner, inkludert algebra, geometri, kalkulus og sannsynlighet.

Den vakre utformingen av dokumentet i html-format gjør bruken av dette produktet mer praktisk og morsomt for brukeren. Designet inkluderer bruk av praktisk navigering gjennom oppgaver og et lyst fargeskjema, som gjør prosessen med å løse oppgaver mer effektiv og produktiv.

Produkt IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 er en høykvalitets og nyttig ressurs for studenter som ønsker å forbedre sine kunnskaper og ferdigheter i matematikk.

"IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8" er en digital fil i pdf-format som inneholder oppgaver om ulike emner i matematikk, inkludert algebra. Filen er beregnet for bruk av elever når de skal gjennomføre individuelle lekser. Oppgavene kan inneholde eksempler på å løse likninger og ligningssystemer, finne deriverte, integraler, konstruere grafer over funksjoner og andre emner fra matematikkfeltet.

***

IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 er en matematikkoppgave som inkluderer følgende oppgaver:

1. Komponer kanoniske ligninger for en ellipse, hyperbel og parabel som passerer gjennom gitte punkter og har gitt parametere (hoved- og mindre halvakser, eksentrisitet, brennvidde, etc.).

2. Finn ligningen til en sirkel som går gjennom toppunktet til en hyperbel og har et senter i et gitt punkt.

3. Skriv en likning for en rett linje som er tre ganger større fra en gitt rett linje enn fra et gitt punkt.

4. Konstruer en kurve i polare koordinater gitt av ligningen ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Konstruer en kurve gitt av parametriske ligninger (0 ≤ t ≤ 2π).

Denne oppgaven er designet for å teste kunnskap og ferdigheter innen analytisk geometri og matematisk analyse.

***

1. Jeg er veldig takknemlig overfor forfatteren for Ryabushko IDZ 4.1 Alternativ 8, som hjalp meg med å bestå eksamen.
2. Et veldig praktisk og forståelig format for å presentere materiale i Ryabushko IDZ 4.1 Alternativ 8.
3. IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 er et utmerket valg for de som ønsker å forberede seg effektivt til eksamen.
4. Tusen takk til forfatteren av IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 for en tydelig presentasjon av materialet og nyttige tips om forberedelse til eksamen.
5. Jeg anbefaler Ryabushko IDZ 4.1 Alternativ 8 til alle som ønsker å få høy karakter på eksamen.
6. IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 er et utmerket valg for de som ønsker å raskt og effektivt gjennomgå materialet før eksamen.
7. Takk til forfatteren av IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 for en nyttig og praktisk tilnærming til å forberede seg til eksamen.