IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8

Nr 1. Ellipsens kanoniska ekvation har formen: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ där $(x_0 ,y_0)$ är koordinaterna för mitten av ellipsen, $a$ och $b$ är längderna på de stora respektive mindre halvaxlarna. Den kanoniska ekvationen för en hyperbel har formen: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ där $(x_0 ,y_0)$ är koordinaterna för hyperbelns mittpunkt, $a$ och $b$ är längderna på de stora respektive mindre halvaxlarna. Den kanoniska ekvationen för en parabel har formen: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ där $(x_0,y_0)$ är koordinaterna för parabelns vertex, $a$ är en parameter som bestämmer riktningen och formen på parabeln.

För givna punkter $A$ och $B$, fokus $F$ och excentricitet $\varepsilon$, har ellipsens kanoniska ekvation formen: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ där $a$ och $b$ bestäms från relationerna $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, där $c = FB$, och fokuskoordinaterna $F$ beräknas med formeln $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

För givna parametrar har den kanoniska hyperbolekvationen formen: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ där $a$ och $b$ bestäms från relationerna $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, där $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$, och fokuskoordinaterna $F$ beräknas med formeln $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

För en given riktning $D$ har den kanoniska ekvationen för en parabel formen: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ där $p$ är avståndet från parabelns vertex till riktlinjen, och koordinaterna för parabelns vertex är $(x_0 ,y_0)$ beräknas som mittpunkten av segmentet som förbinder punkten $A$ och skärningspunkten för riktlinjen med axeln $Oy$.

Nr 2. Ekvationen för en cirkel med centrum i punkten $A(x_A,y_A)$ och radien $r$ har formen: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ Cirkelns centrum ligger på axeln $Oy$, så dess koordinat är $y_A=-2$. Cirkelns radie kan hittas genom att ersätta $x$ och $y$ i hyperbelekvationen med koordinaterna för dess hörn, vi får $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Således har en cirkels ekvation formen: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Genom att ersätta $x_A=0$ och $y_A=-2$ får vi den slutliga ekvationen för cirkeln: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

Nr 3. Låt punkten $M(x,y)$ ligga på ett avstånd av $3d$ från den räta linjen $x=-5$, där $d$ är avståndet från punkten $M$ till punkten $A( 6,1)$. Då är avståndet från punkt $M$ till punkt $A$ $\frac{d}{3}$, och vi kan skriva ekvationen för en cirkel med centrum i punkten $A$ och radien $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Punkten $M$ ligger också på vinkelrät sjunkit från punkten $ A$ till den raka linjen $x=-5$. Ekvationen för denna vinkelrät är $x=6$, så $x$-koordinaten för punkten $M$ är $6$. Således är ekvationen för linjen som går genom punkten $M$: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

Nr 4. Låt oss gå från polära koordinater $(\rho, \varphi)$ till kartesiska koordinater $(x,y)$ med formlerna $x=\rho\cos\varphi$ och $y=\rho\sin\varphi$. Genom att ersätta $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$ får vi ekvationen för kurvan i kartesiska koordinater: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Denna ekvation beskriver en kurva som kallas en "kardioid".

Nr 5. För givna parametriska ekvationer $x=f(t)$, $y=g(t)$ kan kurvan hittas genom att plotta beroendet av $y$ på $x$ eftersom parametern $t$ ändras från $0$ till $2\pi $.

Betrakta till exempel en parametriskt definierad kurva: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ För $t=0$ är kurvan vid punkten $(1,0)$, för $t= \frac {\pi}{2}$ - vid punkt $(0,1)$, för $t=\pi$ - vid punkt $(-1,0)$, och så vidare. Grafen för denna kurva är en cirkel med enhetsradie centrerad vid origo.

"IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8" är en digital produkt i pdf-format avsedd att användas av elever när de ska göra individuella läxor i matematik. Det här dokumentet innehåller uppgifter om en mängd olika ämnen, inklusive algebra, geometri, kalkyl och sannolikhet.

Den vackra designen av dokumentet i html-format gör användningen av denna produkt bekvämare och roligare för användaren. Designen inkluderar användningen av bekväm navigering genom uppgifter och ett ljust färgschema, vilket gör processen att lösa uppgifter mer effektiv och produktiv.

Produkt IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 är en högkvalitativ och användbar resurs för elever som vill förbättra sina kunskaper och färdigheter i matematik.

"IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8" är en digital fil i pdf-format som innehåller uppgifter om olika ämnen inom matematik, inklusive algebra. Filen är avsedd att användas av elever när de slutför individuella läxor. Uppgifterna kan innehålla exempel på att lösa ekvationer och ekvationssystem, hitta derivator, integraler, konstruera grafer över funktioner och andra ämnen från matematikområdet.

***

IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 är en matematikuppgift som innehåller följande uppgifter:

1. Komponera kanoniska ekvationer för en ellips, hyperbel och parabel som passerar genom givna punkter och har givna parametrar (stora och mindre halvaxlar, excentricitet, brännvidd, etc.).

2. Hitta ekvationen för en cirkel som går genom spetsen på en hyperbel och har ett centrum vid en given punkt.

3. Skriv en ekvation för en rät linje som är tre gånger större från en given rät linje än från en given punkt.

4. Konstruera en kurva i polära koordinater som ges av ekvationen ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Konstruera en kurva som ges av parametriska ekvationer (0 ≤ t ≤ 2π).

Denna uppgift är utformad för att testa kunskaper och färdigheter inom området analytisk geometri och matematisk analys.

***

1. Jag är mycket tacksam mot författaren för Ryabushko IDZ 4.1 Alternativ 8, som hjälpte mig att klara provet.
2. Ett mycket bekvämt och begripligt format för att presentera material i Ryabushko IDZ 4.1 Alternativ 8.
3. IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 är ett utmärkt val för dem som effektivt vill förbereda sig för provet.
4. Stort tack till författaren av IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 för en tydlig presentation av materialet och användbara tips om att förbereda sig för provet.
5. Jag rekommenderar Ryabushko IDZ 4.1 Alternativ 8 till alla som vill få ett högt betyg på provet.
6. IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 är ett utmärkt val för dem som snabbt och effektivt vill granska materialet innan provet.
7. Tack till författaren till IDZ Ryabushko 4.1 Alternativ 8 för en användbar och praktisk metod för att förbereda sig för provet.