IDZ 里亚布什科 4.1 选项 8

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1号。椭圆的正则方程的形式为： $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$其中 $(x_0 ,y_0)$ 是椭圆中心的坐标，$a$ 和 $b$ 分别是长半轴和短半轴的长度。双曲线的正则方程的形式为： $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$其中 $(x_0 ,y_0)$ 是双曲线中心的坐标，$a$ 和 $b$ 分别是长半轴和短半轴的长度。抛物线的规范方程的形式为： $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ 其中 $(x_0,y_0)$ 是抛物线顶点的坐标，$a$ 是 a决定抛物线方向和形状的参数。

对于给定的点$A$和$B$、焦点$F$和偏心率$\varepsilon$，椭圆的正则方程的形式为：$$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ 其中 $a$ 和 $b$ 由关系式 $a = \frac{BF}{2}$, $b 确定= \sqrt{a^2 - c^2}$，其中 $c = FB$，焦点坐标 $F$ 通过公式 $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\变体 a}{\sqrt{1-\ 变体^2}}, y_A\right)$。

对于给定的参数，正则双曲线方程的形式为：$$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1， $$，其中$a$和$b$由关系式$a = \frac{1}{2\varepsilon}$、$b = \sqrt{a^2 + c^2}$确定，其中$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，焦点坐标$F$的计算公式为$F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$。

对于给定准线 $D$，抛物线的规范方程具有以下形式： $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ 其中 $p$ 是距抛物线顶点的距离到准线，抛物线顶点的坐标为$(x_0 ,y_0)$，计算为连接点$A$和准线与轴$Oy$的交点的线段中点。

2号。以点 $A(x_A,y_A)$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆方程的形式为：$$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$圆心位于轴 $Oy$ 上，因此其坐标为 $y_A=-2$。将双曲线方程中的$x$和$y$替换为圆的顶点坐标即可求出圆的半径，得到$r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$。因此，圆的方程的形式为： $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ 代入$x_A=0$和$y_A=-2$，我们得到圆的最终方程：$$x^2+(y+2)^2=68.$$

第三。假设点$M(x,y)$位于距直线$x=-5$$3d$处，其中$d$是从点$M$到点$A( 6,1)$。那么$M$到$A$的距离为$\frac{d}{3}$，我们可以写出以$A$为圆心、半径为$\frac{d}{的圆方程3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ 另外，点 $M$ 位于从点 $A$ 到直线 $x=-5$ 的垂线。该垂线的方程为$x=6$，因此点$M$的$x$坐标为$6$。因此，通过点 $M$ 的直线方程为： $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

4号。让我们使用公式 $x=\rho\cos\varphi$ 和 $y=\rho\sin\varphi$ 从极坐标 $(\rho, \varphi)$ 移动到笛卡尔坐标 $(x,y)$。代入$\rho=3(1-\cos^2\varphi)$，得到笛卡尔坐标下的曲线方程：$$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ 该方程描述了一条称为“心形”的曲线。

5号。对于给定的参数方程 $x=f(t)$、$y=g(t)$，可以通过绘制当参数 $t$ 从 $0$ 变为 $0$ 时 $y$ 对 $x$ 的依赖关系来找到曲线$2\pi $。

例如，考虑参数定义的曲线： $$x = \cost t, \quad y = \sin t。$$ 对于 $t=0$，曲线位于点 $(1,0)$，对于 $t= \frac {\pi}{2}$ - 在点 $(0,1)$，对于 $t=\pi$ - 在点 $(-1,0)$，依此类推。该曲线的图形是以原点为圆心、单位半径的圆。

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