IDZ Ryabushko 4.1 Možnost 8

Č.1. Kanonická rovnice elipsy má tvar: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ kde $(x_0 ,y_0)$ jsou souřadnice středu elipsy, $a$ a $b$ jsou délky hlavní a vedlejší poloosy. Kanonická rovnice hyperboly má tvar: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ kde $(x_0 ,y_0)$ jsou souřadnice středu hyperboly, $a$ a $b$ jsou délky hlavní a vedlejší poloosy. Kanonická rovnice paraboly má tvar: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ kde $(x_0,y_0)$ jsou souřadnice vrcholu paraboly, $a$ je parametr, který určuje směr a tvar paraboly.

Pro dané body $A$ a $B$, ohnisko $F$ a excentricitu $\varepsilon$ má kanonická rovnice elipsy tvar: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ kde $a$ a $b$ jsou určeny ze vztahů $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, kde $c = FB$ a souřadnice ohniska $F$ jsou vypočteny podle vzorce $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\ varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Pro dané parametry má rovnice kanonické hyperboly tvar: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ kde $a$ a $b$ jsou určeny ze vztahů $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, kde $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$ a souřadnice ohniska $F$ se vypočítají podle vzorce $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\vpravo)$.

Pro danou směrnici $D$ má kanonická rovnice paraboly tvar: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ kde $p$ je vzdálenost od vrcholu paraboly k přímce a souřadnice vrcholu paraboly jsou $(x_0 ,y_0)$ jsou vypočteny jako střed bodu spojujícího segment $A$ a průsečík přímky s osou $Oy$.

Č. 2 Rovnice kružnice se středem v bodě $A(x_A,y_A)$ a poloměrem $r$ má tvar: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ Střed kruhu leží na ose $Oy$, takže jeho souřadnice je $y_A=-2$. Poloměr kružnice lze zjistit nahrazením $x$ a $y$ v rovnici hyperboly souřadnicemi jejích vrcholů, dostaneme $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2} $. Rovnice kruhu má tedy tvar: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Dosazením $x_A=0$ a $y_A=-2$ získáme konečnou rovnici kruhu: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

Č. 3. Nechť je bod $M(x,y)$ umístěn ve vzdálenosti $3d$ od přímky $x=-5$, kde $d$ je vzdálenost od bodu $M$ k bodu $A( 6,1) $. Potom je vzdálenost od bodu $M$ k bodu $A$ $\frac{d}{3}$ a můžeme napsat rovnici kružnice se středem v bodě $A$ a poloměrem $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Také bod $M$ leží na kolmice klesla z bodu $ A$ k přímce $x=-5$. Rovnice této kolmice je $x=6$, takže $x$ souřadnice bodu $M$ je $6$. Rovnice přímky procházející bodem $M$ tedy je: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2,$$

Č. 4. Přejděme z polárních souřadnic $(\rho, \varphi)$ ke kartézským souřadnicím $(x,y)$ pomocí vzorců $x=\rho\cos\varphi$ a $y=\rho\sin\varphi$. Dosazením $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$ získáme rovnici křivky v kartézských souřadnicích: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ Tato rovnice popisuje křivku zvanou "kardioida".

Č. 5. Pro dané parametrické rovnice $x=f(t)$, $y=g(t)$ lze křivku najít vynesením závislosti $y$ na $x$ při změně parametru $t$ z $0$ na $2\pi $.

Uvažujme například parametricky definovanou křivku: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ Pro $t=0$ je křivka v bodě $(1,0)$, pro $t= \frac {\pi}{2}$ - v bodě $(0,1)$, pro $t=\pi$ - v bodě $(-1,0)$ a tak dále. Grafem této křivky je kružnice s jednotkovým poloměrem se středem v počátku.

"IDZ Ryabushko 4.1 Option 8" je digitální produkt ve formátu pdf určený pro použití studenty při plnění individuálních domácích úkolů z matematiky. Tento dokument obsahuje úkoly na různá témata, včetně algebry, geometrie, počtu a pravděpodobnosti.

Díky krásnému designu dokumentu ve formátu html je používání tohoto produktu pro uživatele pohodlnější a příjemnější. Návrh zahrnuje použití pohodlné navigace mezi úkoly a jasné barevné schéma, díky kterému je proces řešení úkolů efektivnější a produktivnější.

Produkt IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 je vysoce kvalitní a užitečný zdroj pro studenty, kteří si chtějí zlepšit své znalosti a dovednosti v matematice.

"IDZ Ryabushko 4.1 Option 8" je digitální soubor ve formátu pdf obsahující úkoly na různá témata v matematice, včetně algebry. Soubor je určen pro použití studenty při plnění individuálních domácích úkolů. Součástí zadání mohou být příklady řešení rovnic a soustav rovnic, hledání derivací, integrálů, sestavení grafů funkcí a další témata z oblasti matematiky.

***

IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 je matematický úkol, který zahrnuje následující úkoly:

1. Sestavte kanonické rovnice pro elipsu, hyperbolu a parabolu procházející danými body a mající dané parametry (hlavní a vedlejší poloosy, excentricita, ohnisková vzdálenost atd.).

2. Najděte rovnici kružnice procházející vrcholem hyperboly a mající střed v daném bodě.

3. Napište rovnici pro přímku, která je od dané přímky třikrát větší než od daného bodu.

4. Sestrojte křivku v polárních souřadnicích danou rovnicí ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Sestrojte křivku danou parametrickými rovnicemi (0 ≤ t ≤ 2π).

Tento úkol je určen k prověření znalostí a dovedností v oblasti analytické geometrie a matematické analýzy.

***

1. Jsem velmi vděčný autorovi za Ryabushko IDZ 4.1 Option 8, který mi pomohl úspěšně složit zkoušku.
2. Velmi pohodlný a srozumitelný formát pro prezentaci materiálu v Ryabushko IDZ 4.1 Option 8.
3. IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 je vynikající volbou pro ty, kteří se chtějí efektivně připravit na zkoušku.
4. Mnohokrát děkuji autorovi IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 za jasnou prezentaci materiálu a užitečné tipy pro přípravu na zkoušku.
5. Ryabushko IDZ 4.1 Option 8 doporučuji každému, kdo chce u zkoušky získat vysokou známku.
6. IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 je vynikající volbou pro ty, kteří si chtějí rychle a efektivně prohlédnout materiál před zkouškou.
7. Děkuji autorovi IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 za užitečný a praktický přístup k přípravě na zkoušku.