IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8

Nr 1. Równanie kanoniczne elipsy ma postać: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ gdzie $(x_0 ,y_0)$ to współrzędne środka elipsy, $a$ i $b$ to odpowiednio długości dużej i małej półosi. Równanie kanoniczne hiperboli ma postać: $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$ gdzie $(x_0 ,y_0)$ to współrzędne środka hiperboli, $a$ i $b$ to odpowiednio długości dużej i małej półosi. Równanie kanoniczne paraboli ma postać: $$y = a(x-x_0)^2+y_0,$$ gdzie $(x_0,y_0)$ to współrzędne wierzchołka paraboli, $a$ to parametr określający kierunek i kształt paraboli.

Dla danych punktów $A$ i $B$, ogniska $F$ i mimośrodu $\varepsilon$ równanie kanoniczne elipsy ma postać: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2} +\frac{( y-y_F)^2}{b^2}=1,$$ gdzie $a$ i $b$ wyznaczane są z relacji $a = \frac{BF}{2}$, $b = \sqrt{a^2 - c^2}$, gdzie $c = FB$, a współrzędne ogniska $F$ oblicza się ze wzoru $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\ varepsilon a}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Dla podanych parametrów równanie kanoniczne hiperboli ma postać: $$\frac{(x-x_F)^2}{a^2}-\frac{(y-y_F)^2}{b^2}=1, $$ gdzie $a$ i $b$ wyznaczane są z relacji $a = \frac{1}{2\varepsilon}$, $b = \sqrt{a^2 + c^2}$, gdzie $c = \sqrt{a^ 2 + b^2}$, a współrzędne ogniska $F$ oblicza się ze wzoru $F(x_F, y_F) = \left(x_A + \frac{\varepsilon a}{\sqrt{1 +\varepsilon^2}}, y_A\right)$.

Dla danej kierownicy $D$ równanie kanoniczne paraboli ma postać: $$4p(y-y_0) = (x-x_0)^2,$$ gdzie $p$ to odległość od wierzchołka paraboli do kierownicy, a współrzędne wierzchołka paraboli wynoszą $(x_0 ,y_0)$ oblicza się jako środek odcinka łączącego punkt $A$ i punkt przecięcia kierownicy z osią $Oy$.

Nr 2. Równanie okręgu o środku w punkcie $A(x_A,y_A)$ i promieniu $r$ ma postać: $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$ Środek okręgu leży na osi $Oy$, zatem jego współrzędna wynosi $y_A=-2$. Promień okręgu można znaleźć zastępując $x$ i $y$ w równaniu hiperboli współrzędnymi jego wierzchołków, otrzymujemy $r = \sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A) ^2}$. Zatem równanie okręgu ma postać: $(x-0)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{(0-x_A)^2+(-2-y_A)^2 }\right )^2.$ Podstawiając $x_A=0$ i $y_A=-2$ otrzymujemy końcowe równanie okręgu: $$x^2+(y+2)^2=68.$$

Nr 3. Niech punkt $M(x,y)$ będzie położony w odległości $3d$ od prostej $x=-5$, gdzie $d$ jest odległością od punktu $M$ do punktu $A( 6,1)$. Wtedy odległość od punktu $M$ do punktu $A$ wynosi $\frac{d}{3}$ i możemy napisać równanie okręgu o środku w punkcie $A$ i promieniu $\frac{d}{ 3}$: $$(x-6)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2.$$ Ponadto punkt $M$ leży na prostopadła spadła z punktu $ A$ do prostej $x=-5$. Równanie tej prostopadłej wynosi $x=6$, zatem współrzędna $x$ punktu $M$ wynosi $6$. Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkt $M$ wygląda następująco: $$x=6, \quad (y-1)^2 = \left(\frac{d}{3}\right)^2 - ( x -6)^2.$$

Nr 4. Przejdźmy od współrzędnych biegunowych $(\rho, \varphi)$ do współrzędnych kartezjańskich $(x,y)$ korzystając ze wzorów $x=\rho\cos\varphi$ i $y=\rho\sin\varphi$. Podstawiając $\rho=3(1-\cos^2\varphi)$ otrzymujemy równanie krzywej we współrzędnych kartezjańskich: $$x^2 + y^2 = 9(1-\cos^2\varphi) ^2.$ $ To równanie opisuje krzywą zwaną „kardioidą”.

Nr 5. Dla danych równań parametrycznych $x=f(t)$, $y=g(t)$, krzywą można znaleźć wykreślając zależność $y$ od $x$, gdy parametr $t$ zmienia się z $0$ na 2 $\pi $.

Rozważmy na przykład parametrycznie zdefiniowaną krzywą: $$x = \cos t, \quad y = \sin t.$$ Dla $t=0$ krzywa znajduje się w punkcie $(1,0)$, dla $t= \frac {\pi}$ - w punkcie $(0,1)$, dla $t=\pi$ - w punkcie $(-1,0)$ i tak dalej. Wykres tej krzywej to okrąg o promieniu jednostkowym ze środkiem w początku układu współrzędnych.

„IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8” to produkt cyfrowy w formacie pdf przeznaczony do wykorzystania przez uczniów podczas samodzielnego odrabiania zadań domowych z matematyki. Ten dokument zawiera zadania dotyczące różnych tematów, w tym algebry, geometrii, rachunku różniczkowego i prawdopodobieństwa.

Piękny wygląd dokumentu w formacie HTML sprawia, że ​​korzystanie z tego produktu jest dla użytkownika wygodniejsze i przyjemniejsze. W projekcie zastosowano wygodną nawigację po zadaniach oraz jasną kolorystykę, dzięki czemu proces rozwiązywania zadań jest bardziej wydajny i produktywny.

Produkt IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8 to wysokiej jakości i przydatne źródło informacji dla uczniów, którzy chcą doskonalić swoją wiedzę i umiejętności matematyczne.

„IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8” to plik cyfrowy w formacie pdf zawierający zadania z różnych dziedzin matematyki, w tym algebry. Plik przeznaczony jest do wykorzystania przez uczniów podczas samodzielnego odrabiania zadań domowych. Zadania mogą obejmować przykłady rozwiązywania równań i układów równań, znajdowanie pochodnych, całek, konstruowanie wykresów funkcji i inne zagadnienia z zakresu matematyki.

***

IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8 to zadanie matematyczne, które obejmuje następujące zadania:

1. Ułóż równania kanoniczne dla elipsy, hiperboli i paraboli przechodzącej przez dane punkty i mającej podane parametry (półoś duża i mała, mimośród, ogniskowa itp.).

2. Znajdź równanie okręgu przechodzącego przez wierzchołek hiperboli i mającego środek w danym punkcie.

3. Napisz równanie prostej znajdującej się w odległości trzykrotnie większej od danej prostej niż od danego punktu.

4. Skonstruuj krzywą we współrzędnych biegunowych podanych równaniem ρ = 3·(1 - cos^2φ).

5. Skonstruuj krzywą określoną równaniami parametrycznymi (0 ≤ t ≤ 2π).

Zadanie to ma na celu sprawdzenie wiedzy i umiejętności z zakresu geometrii analitycznej i analizy matematycznej.

***

1. Jestem bardzo wdzięczny autorowi za Ryabushko IDZ 4.1 Option 8, który pomógł mi pomyślnie zdać egzamin.
2. Bardzo wygodny i zrozumiały format prezentacji materiału w Ryabushko IDZ 4.1 Opcja 8.
3. IDZ Ryabushko 4.1 Option 8 to doskonały wybór dla osób chcących skutecznie przygotować się do egzaminu.
4. Serdecznie dziękujemy autorowi IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8 za przejrzyste przedstawienie materiału i przydatne wskazówki dotyczące przygotowania do egzaminu.
5. Każdemu, kto chce uzyskać wysoką ocenę na egzaminie, polecam Ryabushko IDZ 4.1 Opcja 8.
6. IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8 to doskonały wybór dla tych, którzy chcą szybko i skutecznie powtórzyć materiał przed egzaminem.
7. Dziękuję autorowi IDZ Ryabushko 4.1 Opcja 8 za przydatne i praktyczne podejście do przygotowań do egzaminu.