IDZ Ryabushko 2.1 Opção 6

Nº 1. É necessário encontrar: a) ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ); b) projeção (ν·a + τ·b) sobre b; c) cos(uma + τb).

Para fazer isso, usamos fórmulas para operações com vetores:

a) ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = λν·a² + λt·a·b + мн·b·a + μt·b² Exemplo: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. Obtemos: (3a - 4b ) ·(2a + 3b) = 6a² - 5ab - 12b²

b) A projeção de ( ν·a + τ·b ) sobre b é igual a ( ν·a + τ·b )·(b/|b|)·(b/|b|), onde |b| - comprimento do vetor b: (2a + 3b)·(b/|b|)·(b/|b|) = (2a·b)/(kℓ) + (3b²)/(kℓ)

в) cos( a + τ·b ) = (a + τ·b)·(a + τ·b) / |a + τ·b|·|a + τ·b| Substituímos valores: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. Obtemos: cos(a + 3b) = (4a² + 9b² - 6ab) / sqrt(13a² + 18ab + 25b²)

Nº 2. É necessário: a) encontrar o módulo do vetor a; b) encontrar o produto escalar dos vetores a e b; c) encontre a projeção do vetor c no vetor d; d) encontre as coordenadas do ponto M dividindo o segmento ℓ em relação α:.

Para resolver o problema, usamos fórmulas para operações com vetores:

a) O módulo do vetor a é |a| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²). Substitua os valores: a = (-1, -2, 4). Obtemos: |a| = quadrado(21)

b) O produto escalar dos vetores aeb é igual a a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Substitua os valores: a = (-1, -2, 4), b = (-1, 3, 5). Obtemos: a b = -1 - 6 + 20 = 13

c) A projeção do vetor c sobre o vetor d é igual a (c·d / |d|)·(d / |d|), onde |d| - comprimento do vetor d: (1c + 4d)·(3/5, 4/5, 0)·(3/5, 4/5, 0) = (3c + 4d)/5

d) As coordenadas do ponto M são encontradas pela fórmula M = (1 - α)A + αB, onde A e B são as coordenadas dos pontos, ℓ é o comprimento do segmento, α é a razão pela qual M se divide o segmento ℓ: Substitua os valores: A = (- 1, -2, 4), B = (-1, 3, 5), α = 1/3, ℓ = sqrt(30). Obtemos: M = (-1, -2/3, 20/3)

N ° 3. É necessário provar que os vetores a, b, c formam uma base e encontrar as coordenadas do vetor d nesta base.

Para provar que os vetores a, b, c formam uma base, é necessário mostrar que eles são linearmente independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser representado como uma combinação linear desses vetores.

A independência linear dos vetores a, b, c significa que a equação αa + βb + γc = 0 tem apenas uma solução trivial, onde α, β, γ são os coeficientes de uma combinação linear de vetores. Para provar isso, vamos criar um sistema de equações: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15

Resolvendo este sistema pelo método gaussiano, descobrimos que α = -1, β = -2, γ = 3. Assim, a solução trivial é única, o que significa a independência linear dos vetores a, b, c.

Para encontrar as coordenadas do vetor d nesta base, é necessário representá-lo como uma combinação linear dos vetores a, b, c e encontrar os coeficientes correspondentes. Vamos criar um sistema de equações: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15 Resolvendo pelo método de Gauss, descobrimos que α = -1, β = -2, γ = 3. Assim, as coordenadas do vetor d na base a, b, c são iguais a (-1, -2, 3).

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IDZ Ryabushko 2.1 Opção 6 é um conjunto de problemas de álgebra linear, que inclui três tarefas:

1. Encontre o significado das expressões:

• ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b );
• projeção (ν·a + τ·b) em b;
• cos(a + τ·b).

Para tanto, são dados os vetores a e b, suas coordenadas α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν e τ.

1. Encontre o valor de várias operações vetoriais para determinados vetores:

• módulo do vetor a;
• produto escalar dos vetores aeb;
• projeção do vetor c no vetor d;
• coordenadas do ponto M que divide o segmento ℓ em relação a α.

Para isso são dadas as coordenadas dos pontos A, B e C, bem como os vetores a, b, c e d.

1. Prove que os vetores a, b e c formam uma base e encontre as coordenadas do vetor d nesta base. Para isso, são dadas as coordenadas dos vetores a, b, c e d.

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