IDZ Ryabushko 2.1 Opción 6

N° 1. Es necesario encontrar: a) ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ); b) proyección ( ν·a + τ·b ) sobre b; c) cos( a + τ b ).

Para ello utilizamos fórmulas para operaciones con vectores:

a) ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = λν·a² + λt·a·b + мн·b·a + μt·b² Заменяем снежная: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. Obtenemos: (3a - 4b ) ·(2a + 3b) = 6a² - 5ab - 12b²

b) La proyección de ( ν·a + τ·b ) sobre b es igual a ( ν·a + τ·b )·(b/|b|)·(b/|b|), donde |b| - longitud del vector b: (2a + 3b)·(b/|b|)·(b/|b|) = (2a·b)/(kℓ) + (3b²)/(kℓ)

в) cos( a + τ·b ) = (a + τ·b)·(a + τ·b) / |a + τ·b|·|a + τ·b| Sustituimos valores: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. Obtenemos: cos(a + 3b) = (4a² + 9b² - 6ab) / sqrt(13a² + 18ab + 25b²)

No. 2. Es necesario: a) encontrar el módulo del vector a; b) encontrar el producto escalar de los vectores a y b; c) encontrar la proyección del vector c sobre el vector d; d) encontrar las coordenadas del punto M que divide el segmento ℓ en la relación α:.

Para resolver el problema utilizamos fórmulas para operaciones con vectores:

a) El módulo del vector a es |a| = raíz cuadrada (a₁² + a₂² + a₃²). Reemplace los valores: a = (-1, -2, 4). Obtenemos: |a| = raíz cuadrada (21)

b) El producto escalar de los vectores a y b es igual a a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Reemplace los valores: a = (-1, -2, 4), b = (-1, 3, 5). Obtenemos: a·b = -1 - 6 + 20 = 13

c) La proyección del vector c sobre el vector d es igual a (c·d / |d|)·(d / |d|), donde |d| - longitud del vector d: (1c + 4d)·(3/5, 4/5, 0)·(3/5, 4/5, 0) = (3c + 4d)/5

d) Las coordenadas del punto M se encuentran mediante la fórmula M = (1 - α)A + αB, donde A y B son las coordenadas de los puntos, ℓ es la longitud del segmento, α es la relación en la que M divide el segmento ℓ: Reemplace los valores: A = (- 1, -2, 4), B = (-1, 3, 5), α = 1/3, ℓ = sqrt(30). Obtenemos: M = (-1, -2/3, 20/3)

Numero 3. Es necesario demostrar que los vectores a, b, c forman una base y encontrar las coordenadas del vector d en esta base.

Para demostrar que los vectores a, b, c forman una base, es necesario demostrar que son linealmente independientes y que cualquier vector en el espacio puede representarse como una combinación lineal de estos vectores.

La independencia lineal de los vectores a, b, c significa que la ecuación αa + βb + γc = 0 tiene solo una solución trivial, donde α, β, γ son los coeficientes de una combinación lineal de vectores. Para demostrar esto, creemos un sistema de ecuaciones: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15

Resolviendo este sistema por el método gaussiano, encontramos que α = -1, β = -2, γ = 3. Por tanto, la solución trivial es única, lo que significa la independencia lineal de los vectores a, b, c.

Para encontrar las coordenadas del vector d en esta base, debes representarlo como una combinación lineal de los vectores a, b, c y encontrar los coeficientes correspondientes. Creemos un sistema de ecuaciones: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15 Resolviendo por el método de Gauss, encontramos que α = -1, β = -2, γ = 3. Por tanto, las coordenadas del vector d en la base a, b, c son iguales a (-1, -2, 3).

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IDZ Ryabushko 2.1 Opción 6 es un conjunto de problemas de álgebra lineal, que incluye tres tareas:

1. Encuentra el significado de las expresiones:

• ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b );
• proyección ( ν·a + τ·b ) sobre b;
• porque( a + τ·b ).

Para ello se dan los vectores a y b, sus coordenadas α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν y τ.

1. Encuentre el valor de varias operaciones vectoriales para vectores dados:

• módulo del vector a;
• producto escalar de los vectores a y b;
• proyección del vector c sobre el vector d;
• coordenadas del punto M que divide el segmento ℓ con respecto a α.

Para ello se dan las coordenadas de los puntos A, B y C, así como los vectores a, b, cy d.

1. Demuestre que los vectores a, b y c forman una base y encuentre las coordenadas del vector d en esta base. Para ello se dan las coordenadas de los vectores a, b, cy d.

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