IDZ Ryabushko 2.1 选项 6

1号。需要找到： a) ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b )； b) 将 ( ν·a + τ·b ) 投影到 b 上； c) cos(a+τb)。

为此，我们使用向量运算公式：

a) ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = λν·a² + λt·a·b + мн·b·a + μt·b² Заменяем снежная: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3。我们得到: (3a - 4b ) ·(2a + 3b) = 6a² - 5ab - 12b²

b) ( ν·a + τ·b ) 在 b 上的投影等于 ( ν·a + τ·b )·(b/|b|)·(b/|b|)，其中 |b| - 向量 b 的长度： (2a + 3b)·(b/|b|)·(b/|b|) = (2a·b)/(kℓ) + (3b²)/(kℓ)

в) cos( a + τ·b ) = (a + τ·b)·(a + τ·b) / |a + τ·b|·|a + τ·b|我们代入值： α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. 我们得到：cos(a + 3b) = (4a² + 9b² - 6ab) / sqrt(13a² + 18ab + 25b²)

2号。需要：a)求向量a的模； b) 求向量 a 和 b 的标量积； c) 求向量 c 在向量 d 上的投影； d) 找到在关系 α: 中划分线段 ℓ 的点 M 的坐标。

为了解决这个问题，我们使用向量运算公式：

a) 向量a的模为|a| = sqrt(a₁² + a²² + a₃²)。替换值：a = (-1, -2, 4)。我们得到：|a| = 开方(21)

b) 向量a和b的标量积等于a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。替换值：a = (-1, -2, 4)，b = (-1, 3, 5)。我们得到： a b = -1 - 6 + 20 = 13

c) 矢量 c 到矢量 d 的投影等于 (c·d / |d|)·(d / |d|)，其中 |d| - 向量长度d：(1c + 4d)·(3/5, 4/5, 0)·(3/5, 4/5, 0) = (3c + 4d)/5

d) 通过公式 M = (1 - α)A + αB 求出 M 点的坐标，其中 A 和 B 是点的坐标，ℓ 是线段的长度，α 是 M 除以的比例段 ℓ：替换值：A = (- 1, -2, 4)，B = (-1, 3, 5)，α = 1/3，ℓ = sqrt(30)。我们得到：M = (-1, -2/3, 20/3)

第三。需要证明向量a、b、c构成一个基，并求出向量d在这个基上的坐标。

为了证明向量a、b、c构成基，需要证明它们是线性无关的，并且空间中的任何向量都可以表示为这些向量的线性组合。

向量 a、b、c 的线性独立意味着方程 αa + βb + γc = 0 只有一个平凡解，其中 α、β、γ 是向量线性组合的系数。为了证明这一点，我们创建一个方程组： 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15

用高斯方法求解这个方程组，我们发现α = -1，β = -2，γ = 3。因此，平凡解是唯一的，这意味着向量a，b，c线性独立。

要在此基础上找到向量 d 的坐标，需要将其表示为向量 a、b、c 的线性组合并找到相应的系数。让我们创建一个方程组： 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15 用高斯方法求解，我们发现 α = -1，β = -2，γ = 3。因此，向量 d 在基 a、b、c 中的坐标等于 (-1, -2, 3)。

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IDZ Ryabushko 2.1 Option 6 是一组线性代数问题，其中包括三个任务：

1. 找出表达式的含义：

• ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b );
• 投影 ( ν·a + τ·b ) 到 b 上；
• cos( a + τ·b )。

为此，给出向量 a 和 b，以及它们的坐标 α、β、γ、δ、k、l、φ、λ、μ、ν 和 τ。

1. 求给定向量的各种向量运算的值：

• 向量 a 的模；
• 向量 a 和 b 的标量积；
• 将向量 c 投影到向量 d 上；
• 相对于 α 划分线段 ℓ 的点 M 的坐标。

为此，给出了点 A、B 和 C 的坐标，以及向量 a、b、c 和 d。

1. 证明向量a、b、c构成一个基，并求出向量d在该基上的坐标。 为此，给出了向量 a、b、c 和 d 的坐标。

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