IDZ リャブシュコ 2.1 オプション 6

1番。次のことを求める必要があります。 a) ( λ・a + μ・b )・( ν・a + τ・b ); b) b への射影 ( ν・a + τ・b )。 c) cos( a + τ b )。

これを行うには、ベクトルの演算式を使用します。

a) ( λ・a + μ・b )・( ν・a + τ・b ) = λν・a² + λt・a・b + мн・b・a + μt・b² Заменяем снежная: α = 2, β = -5、γ =-3、δ =4、k = 2、ℓ = 4、φ = 2π/3、λ = 3、μ = -4、ν = 2、τ = 3 が得られます: (3a - 4b) ) ·(2a + 3b) = 6a² - 5ab - 12b²

b) ( ν・a + τ・b ) の b への射影は、 ( ν・a + τ・b )・(b/|b|)・(b/|b|) に等しくなります。ここで |b| - ベクトル b の長さ: (2a + 3b)・(b/|b|)・(b/|b|) = (2a・b)/(kℓ) + (3b²)/(kℓ)

в) cos( a + τ・b ) = (a + τ・b)・(a + τ・b) / |a + τ・b|・|a + τ・b|値を代入します: α = 2、β = -5、γ =-3、δ =4、k = 2、ℓ = 4、φ = 2π/3、λ = 3、μ = -4、ν = 2、τ = 3. 次の結果が得られます: cos(a + 3b) = (4a² + 9b² - 6ab) / sqrt(13a² + 18ab + 25b²)

2番。それは必要です: a) ベクトル a のモジュールを見つけます。 b) ベクトル a と b のスカラー積を求めます。 c) ベクトル d へのベクトル c の射影を見つけます。 d) 関係 α: でセグメント ℓ を分割する点 M の座標を求めます。

この問題を解決するには、ベクトルの演算に公式を使用します。

a) ベクトル a の法は |a| です。 = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²)。値を次のように置き換えます: a = (-1, -2, 4)。次のようになります: |a| = sqrt(21)

b) ベクトル a と b のスカラー積は、a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ に等しくなります。値を次のように置き換えます: a = (-1, -2, 4)、b = (-1, 3, 5)。 a b = -1 - 6 + 20 = 13 が得られます。

c) ベクトル c のベクトル d への射影は、(c・d / |d|)・(d / |d|) に等しくなります。ここで、|d| - ベクトルの長さ d: (1c + 4d) · (3/5, 4/5, 0) · (3/5, 4/5, 0) = (3c + 4d)/5

d) 点 M の座標は、式 M = (1 - α)A + αB によって求められます。ここで、A と B は点の座標、ℓ は線分の長さ、α は M を分割する比率です。セグメント ℓ: 値を置き換えます: A = (- 1, -2, 4)、B = (-1, 3, 5)、α = 1/3、ℓ = sqrt(30)。 M = (-1, -2/3, 20/3) が得られます。

3番。ベクトル a、b、c が基底を形成することを証明し、この基底におけるベクトル d の座標を見つける必要があります。

ベクトル a、b、c が基底を形成していることを証明するには、それらが線形独立であること、および空間内の任意のベクトルがこれらのベクトルの線形結合として表現できることを示す必要があります。

ベクトル a、b、c の線形独立性は、方程式 αa + βb + γc = 0 が自明な解しか持たないことを意味します。ここで、α、β、γ はベクトルの線形結合の係数です。これを証明するために、連立方程式を作成しましょう: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15

この系をガウス法で解くと、α = -1、β = -2、γ = 3 であることがわかります。したがって、自明な解は一意であり、ベクトル a、b、c の線形独立性を意味します。

この基底でベクトル d の座標を見つけるには、それをベクトル a、b、c の線形結合として表し、対応する係数を見つける必要があります。連立方程式を作成しましょう: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15 これをガウス法で解くと、α = -1、β = -2、γ = 3 であることがわかります。したがって、基底 a、b、c のベクトル d の座標は (-1、-2、3) に等しくなります。

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IDZ Ryabushko 2.1 オプション 6 は、次の 3 つのタスクを含む線形代数の問題セットです。

1. 式の意味を調べます。

• ( λ・a + μ・b );( ν・a + τ・b );
• ( ν・a + τ・b ) を b に投影します。
• cos( a + τ・b )。

この目的のために、ベクトル a と b、その座標 α、β、γ、δ、k、ℓ、φ、λ、μ、ν、τ が与えられます。

1. 指定されたベクトルに対するさまざまなベクトル演算の値を求めます。

• ベクトル a の係数。
• ベクトル a と b のスカラー積。
• ベクトル c のベクトル d への射影。
• 線分ℓを分割する点Mのαに対する座標。

このために、点 A、B、C の座標とベクトル a、b、c、d が与えられます。

1. ベクトル a、b、c が基底を形成していることを証明し、この基底におけるベクトル d の座標を求めます。 このために、ベクトル a、b、c、d の座標が与えられます。

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