IDZ Ryabushko 2.1 Opzione 6

N. 1. È necessario trovare: a) ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ); b) proiezione ( ν·a + τ·b ) su b; c) cos( a + τ b ).

Per fare ciò, utilizziamo le formule per le operazioni con i vettori:

a) ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = λν·a² + λt·a·b + мн·b·a + μt·b² Заменяем снежная: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. Otteniamo: (3a - 4b ) ·(2a + 3b) = 6a² - 5ab - 12b²

b) La proiezione di ( ν·a + τ·b ) su b è uguale a ( ν·a + τ·b )·(b/|b|)·(b/|b|), dove |b| - lunghezza del vettore b: (2a + 3b)·(b/|b|)·(b/|b|) = (2a·b)/(kℓ) + (3b²)/(kℓ)

â) cos( a + τ·b ) = (a + τ·b)·(a + τ·b) / |a + τ·b|·|a + τ·b| Sostituiamo i valori: α = 2, β = -5, γ =-3, δ =4, k = 2, ℓ = 4, φ = 2π/3, λ = 3, μ = -4, ν = 2, τ = 3. Otteniamo: cos(a + 3b) = (4a² + 9b² - 6ab) / sqrt(13a² + 18ab + 25b²)

N. 2. È necessario: a) trovare il modulo del vettore a; b) trovare il prodotto scalare dei vettori aeb; c) trovare la proiezione del vettore c sul vettore d; d) trovare le coordinate del punto M che divide il segmento ℓ rispetto a α:.

Per risolvere il problema, utilizziamo le formule per le operazioni con i vettori:

a) Il modulo del vettore a è |a| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²). Sostituisci i valori: a = (-1, -2, 4). Otteniamo: |a| = quadrato(21)

b) Il prodotto scalare dei vettori aeb è uguale a a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Sostituisci i valori: a = (-1, -2, 4), b = (-1, 3, 5). Otteniamo: a·b = -1 - 6 + 20 = 13

c) La proiezione del vettore c sul vettore d è uguale a (c·d / |d|)·(d / |d|), dove |d| - lunghezza del vettore d: (1c + 4d)·(3/5, 4/5, 0)·(3/5, 4/5, 0) = (3c + 4d)/5

d) Le coordinate del punto M si trovano dalla formula M = (1 - α)A + αB, dove A e B sono le coordinate dei punti, ℓ è la lunghezza del segmento, α è il rapporto in cui M divide il segmento ℓ: sostituisci i valori: A = (- 1, -2, 4), B = (-1, 3, 5), α = 1/3, ℓ = sqrt(30). Otteniamo: M = (-1, -2/3, 20/3)

Numero 3. È necessario dimostrare che i vettori a, b, c formano una base e trovare in questa base le coordinate del vettore d.

Per dimostrare che i vettori a, b, c formano una base è necessario dimostrare che sono linearmente indipendenti e che qualsiasi vettore nello spazio può essere rappresentato come una combinazione lineare di questi vettori.

L'indipendenza lineare dei vettori a, b, c significa che l'equazione αa + βb + γc = 0 ha solo una soluzione banale, dove α, β, γ sono i coefficienti di una combinazione lineare di vettori. Per dimostrarlo creiamo un sistema di equazioni: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15

Risolvendo questo sistema con il metodo gaussiano, troviamo che α = -1, β = -2, γ = 3. Pertanto, la soluzione banale è unica, il che significa l'indipendenza lineare dei vettori a, b, c.

Per trovare le coordinate del vettore d in questa base, è necessario rappresentarlo come una combinazione lineare dei vettori a, b, c e trovare i coefficienti corrispondenti. Creiamo un sistema di equazioni: 3α - 7β - 4γ = 16 α - 2β = 6 2α - 4β + 3γ = 15 Risolvendolo con il metodo di Gauss, troviamo che α = -1, β = -2, γ = 3. Pertanto, le coordinate del vettore d nella base a, b, c sono uguali a (-1, -2, 3).

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IDZ Ryabushko 2.1 Opzione 6 è un insieme di problemi di algebra lineare, che comprende tre compiti:

1. Trova il significato delle espressioni:

• ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b );
• proiezione ( ν·a + τ·b ) su b;
• cos( a + τ·b ).

A questo scopo vengono forniti i vettori a e b, le loro coordinate α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν e τ.

1. Trova il valore di varie operazioni vettoriali per determinati vettori:

• modulo del vettore a;
• prodotto scalare dei vettori aeb;
• proiezione del vettore c sul vettore d;
• coordinate del punto M che divide il segmento ℓ rispetto ad α.

Per questo vengono fornite le coordinate dei punti A, B e C, nonché i vettori a, b, c e d.

1. Dimostra che i vettori a, b e c formano una base e trova le coordinate del vettore d in questa base. Per questo vengono fornite le coordinate dei vettori a, b, c e d.

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