IDZ 12.1 – Opcja 2. Rozwiązania Ryabushko A.P.

Zadanie nr 1. Udowodnić zbieżność szeregu i znaleźć jego sumę.

Rozważmy szereg $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Aby zbadać jego zbieżność, używamy testu D'Alemberta:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Zatem szereg jest zbieżny. Aby znaleźć jego sumę, korzystamy ze wzoru na wykładnik:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Zadanie nr 2. Zbadaj wskazany szereg z dodatnimi wyrazami zbieżności.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Aby zbadać zbieżność tego szeregu, używamy testu D’Alemberta:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

oznacza to, że szereg jest rozbieżny.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Aby zbadać zbieżność tego szeregu, używamy kryterium całkowego:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ w 2}

oznacza to, że szereg jest zbieżny.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Aby zbadać zbieżność tego szeregu, używamy również testu całkowego:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

oznacza to, że szereg jest rozbieżny.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, gdzie $0

Aby zbadać zbieżność tego szeregu, używamy kryterium całkowego:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Zatem szereg jest zbieżny dla $\alpha > 1$ i rozbieżny dla $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, gdzie $0

Aby zbadać zbieżność tego szeregu, używamy również testu całkowego:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Zatem szereg jest zbieżny dla $\alpha > 1$ i rozbieżny dla $\alpha \leq 1$.

Zadanie nr 7. Zbadaj szeregi naprzemienne pod kątem zbieżności i zbieżności absolutnej.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Aby zbadać zbieżność tego szeregu przemiennego, używamy testu Leibniza: ciąg $\left|\frac{1}{n}\right|$ monotonicznie maleje do zera. Ponadto, aby zbadać zbieżność absolutną, użyjemy porównania z szeregiem harmonicznym:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Szereg ten jest rozbieżny, ponieważ jest szeregiem harmonicznym. Zatem pierwotny szereg naprzemienny jest zbieżny, ale nie zbieżny absolutnie.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, gdzie $0

Aby zbadać zbieżność tego szeregu przemiennego, korzystamy z testu Leibniza: ciąg $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ monotonicznie maleje do zera. Aby zbadać zbieżność absolutną, używamy porównania z szeregiem harmonicznym:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Szereg ten jest zbieżny dla $\alpha > 1$ i rozbieżny dla $\alpha \leq 1$. Zatem pierwotny szereg przemienny jest zbieżny dla $\alpha > 1$, a dla $\alpha \leq 1$ jest rozbieżny, ale zbieżny bezwzględnie.

Ten produkt cyfrowy stanowi rozwiązanie zadań z opcji 2 Indywidualnej pracy domowej nr 12.1 z analizy matematycznej, której autorem jest Ryabushko A.P. Rozwiązania prezentowane są w formie dokumentu elektronicznego o pięknej szacie graficznej HTML, co czyni je łatwymi do odczytania i wykorzystania. Produkt przeznaczony dla uczniów i nauczycieli, którzy interesują się nauką rachunku różniczkowego i chcą sprawdzić swoją wiedzę w praktyce. Dzięki wygodnemu formatowi rozwiązania można wykorzystać zarówno do samodzielnej pracy, jak i jako pomoc dydaktyczną.

IDZ 12.1 – Opcja 2. Rozwiązania Ryabushko A.P. to produkt cyfrowy zawierający rozwiązania problemów zawartych w drugiej wersji Indywidualnej pracy domowej nr 12.1 z analizy matematycznej, napisanej przez autora Ryabushko A.P. Rozwiązania prezentowane są w formie dokumentu elektronicznego z pięknym projektem HTML, co czyni je łatwymi w użyciu.

Rozwiązania tej opcji zawierają problemy udowodnienia zbieżności szeregu i znalezienia jego sumy, badania zbieżności różnych szeregów o wyrazach dodatnich i szeregów przemiennych. Dla każdego problemu podano szczegółowe rozwiązania z wykorzystaniem odpowiednich cech teoretycznych.

Produkt ten może być przydatny dla uczniów i nauczycieli studiujących analizę matematyczną i chcących sprawdzić swoją wiedzę w praktyce. Rozwiązania można wykorzystać zarówno do samodzielnej pracy, jak i jako pomoc dydaktyczną.

***

IDZ 12.1 – Opcja 2. Rozwiązania Ryabushko A.P. to zbiór gotowych rozwiązań do zadań domowych z matematyki dla uczniów klas 12. Rozwiązania prezentuje autor – Ryabushko A.P. i obejmują problemy dotyczące różnych tematów, takich jak macierze, układy równań, pochodne i inne. Zbiór zawiera szczegółowe rozwiązania zadań wraz z opisami krok po kroku, co pozwala lepiej zrozumieć materiał i zwiększyć poziom wiedzy. Zbiór ten może być przydatny zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli matematyki.

***

1. Doskonała jakość rozwiązań problemów!
2. Szybkie i wygodne rozwiązywanie problemów dzięki formatowi cyfrowemu.
3. Bardzo przydatny materiał przygotowujący do egzaminu.
4. Decyzje Ryabushko A.P. pomogę Ci lepiej zrozumieć materiał.
5. Wygodny format do samodzielnej pracy.
6. Polecam każdemu chcącemu pomyślnie zdać egzamin!
7. Dobre przygotowanie do IDZ i ogólnie do egzaminu.
8. Duża liczba zadań pozwala wyraźnie zobaczyć wszystkie aspekty materiału.
9. Bardzo wygodny format, który pomaga szybko i sprawnie rozwiązywać problemy.
10. Studium IDZ 12.1 – Opcja 2. Rozwiązania Ryabushko A.P. pomagają poprawić zrozumienie materiału i poprawić wyniki w nauce.
11. Świetna opcja dla osób chcących przygotować się do egzaminu z matematyki. Decyzje Ryabushko A.P. pomogły mi lepiej zrozumieć tematy i nauczyć się rozwiązywać problemy.
12. Dziękuję autorowi za tak przydatny materiał! IDZ 12.1 – Opcja 2 bardzo pomogła mi w przygotowaniach do egzaminu z matematyki.
13. Nie wiedziałem, jak przygotować się do egzaminu z matematyki, ale dzięki IDZ 12.1 – Opcja 2 i rozwiązaniom Ryabushko A.P. Mogę to śmiało przekazać.
14. Decyzje Ryabushko A.P. dla IDZ 12.1 – Opcja 2 są bardzo dobrze zorganizowane i pomagają w łatwym zrozumieniu materiału.
15. Ten cyfrowy produkt jest darem niebios dla tych, którzy chcą uzyskać doskonałą ocenę z matematyki. Decyzje Ryabushko A.P. zgodnie z IDZ 12.1 – Opcja 2 pomoże mi lepiej zrozumieć materiał.
16. IDZ 12.1 – Opcja 2 z rozwiązaniami A.P. Ryabushko - doskonały wybór dla tych, którzy chcą udoskonalić swoją wiedzę z matematyki i przygotować się do egzaminu.
17. Bez decyzji Ryabushko A.P. Wielu problemów z IPD 12.1 - Opcja 2 nie byłbym w stanie rozwiązać. Dziękuję za tak przydatny materiał!

Osobliwości:

Rozwiązania IDZ 12.1 - Opcja 2 od Ryabushko A.P. pomogły mi lepiej zrozumieć materiał i przygotować się do egzaminu.

Bardzo wygodny i zrozumiały dla rozwiązań IPD 12.1 format – Wariant 2, który pozwala na szybkie odnalezienie potrzebnych informacji.

Jestem wdzięczny autorowi Ryabushko A.P. za jakościowe rozwiązania IDZ 12.1 - Opcja 2, które pomogły mi pomyślnie wykonać zadania.

IDZ 12.1 - Opcja 2 charakteryzuje się dużą dokładnością i klarownością rozwiązań, co ułatwia proces studiowania materiału.

Rozwiązania IDZ 12.1 - Opcja 2 od Ryabushko A.P. zawierają szczegółowe wyjaśnienia, które pomagają lepiej zrozumieć zasady rozwiązywania problemów.

Polecam IDZ 12.1 - Opcja 2 od Ryabushko A.P. Każdy, kto chce poszerzyć swoją wiedzę w tym zakresie.

Z pomocą IDZ 12.1 - Opcja 2 od Ryabushko A.P. Udało mi się z powodzeniem przygotować do egzaminu i uzyskać wysoką ocenę.

Rozwiązania IPD 12.1 - Opcja 2 są wysokiej jakości i są nieodzownym pomocnikiem w badaniu materiału.

Jestem wdzięczny autorowi Ryabushko A.P. za zrozumiałe i przystępne rozwiązania WRZ 12.1 – Wariant 2.

IDZ 12.1 - Opcja 2 od Ryabushko A.P. to doskonały wybór dla tych, którzy chcą wzbogacić swoją wiedzę w tym zakresie.