IDZ Ryabushko 3.1 옵션 3

1. 4개의 점 A1(3;5;4)이 주어졌습니다. A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). 방정식을 작성해야 합니다.
   1. 비행기 A1A2A3;
   2. 직접 A1A2;
   3. 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M;
   4. 라인 A3N은 라인 A1A2와 평행합니다.
   5. 직선 A1A2에 수직인 점 A4를 통과하는 평면.
   또한 다음을 계산해야 합니다.
   1. 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도 사인
   2. 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인입니다.
2. 한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 것이 필요합니다.
3. 점 M(1;-3;3)을 통과하고 좌표축과 각각 60°의 각도를 이루는 직선에 대한 방정식을 작성해야 합니다. 45와 120.

   1. 평면 A1A2A3의 방정식을 찾으려면 두 방향 벡터의 벡터 곱을 찾아야 합니다.

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}, \ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      따라서 $$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      평면 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      $d$를 찾기 위해 $A_1$ 지점의 좌표를 대체합니다.

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \오른쪽 화살표 d = -6.$$

      따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

      $$18x + 8년 - 6z - 6 = 0.$$

      직선 A1A2의 방정식을 찾으려면 방향 벡터를 찾아야 합니다.

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      따라서 직선 A1A2의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

      $$\begin{사례} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M의 방정식을 찾으려면 이 직선의 방향 벡터를 찾아야 합니다. 방향 벡터는 평면 A1A2A3에 수직인 벡터를 따라 향하게 되며 문제 a)를 해결할 때 이미 이 벡터를 찾았습니다. 따라서 직선 A4M의 방향 벡터는 다음과 같습니다.

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      $M$ 점의 좌표가 $(1;-3;3)$인 것을 고려하면 직선 A4M의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

      $$\begin{사례} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{사례}.$$

      직선 A1A2와 평행한 직선 A3N의 방정식을 찾으려면 방향 벡터를 찾아야 합니다. 이 선의 방향 벡터는 직선 A1A2를 따르는 벡터와 동일선상에 있습니다. 즉,

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      따라서 직선 A3N의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

      $$\begin{사례} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{사례}.$$

      점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식을 찾으려면 법선 벡터를 찾아야 합니다. 평면의 법선 벡터는 직선 A1A2를 따라 향하는 벡터와 점 A4에서 직선 A1A2와 평면 A1A2A3의 교차점으로 향하는 벡터의 벡터 곱과 동일선상에 있습니다. 따라서 평면의 법선 벡터는 다음과 같습니다.

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}. $$

      점 A4의 좌표가 $(-1;0;2)$인 것을 고려하면 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

      $$-10x + 14년 - 6z + d = 0.$$

      $d$를 찾기 위해 점 A4의 좌표를 대체합니다.

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \오른쪽 화살표 d = -2.$$

      따라서 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

      $$-10x + 14년 - 6z - 2 = 0.$$

      직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 계산하려면

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