IDZ Ryabushko 3.1 Option 3

1. Étant donné quatre points A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(-1;0;2). Il faut créer des équations :
   1. Avions A1A2A3 ;
   2. Direct A1A2 ;
   3. Droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ;
   4. Ligne A3N parallèle à la ligne A1A2 ;
   5. Le plan passant par le point A4, perpendiculaire à la droite A1A2 ;
   Il faut également calculer :
   1. Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ;
   2. Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.
2. Il faut trouver la distance d’un point à un plan.
3. Il est nécessaire de créer une équation pour une droite passant par le point M(1;–3;3) et formant respectivement des angles de 60 avec les axes de coordonnées ; 45 et 120.

   1. Afin de trouver l'équation du plan A1A2A3, il faut trouver le produit vectoriel de ses deux vecteurs directeurs :

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}, \ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Ainsi, $$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      L’équation plane peut s’écrire :

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      Afin de trouver $d$, on substitue les coordonnées du point $A_1$ :

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \Rightarrow d = -6.$$

      Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme :

      $$18x + 8y - 6z - 6 = 0.$$

      Afin de trouver l'équation de la droite A1A2, vous devez trouver son vecteur directeur :

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      Ainsi, l'équation de la droite A1A2 a la forme :

      $$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      Afin de trouver l'équation de la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3, il faut trouver le vecteur direction de cette droite. Le vecteur direction sera dirigé le long du vecteur perpendiculaire au plan A1A2A3, et nous avons déjà trouvé ce vecteur lors de la résolution du problème a). Ainsi, le vecteur directeur de la droite A4M est égal à :

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Considérant que le point $M$ a pour coordonnées $(1;-3;3)$, l'équation de la droite A4M a la forme :

      $$\begin{cases} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{cases}.$$

      Afin de trouver l’équation de la droite A3N parallèle à la droite A1A2, il faut trouver son vecteur directeur. Le vecteur directeur de cette droite sera colinéaire au vecteur dirigé selon la droite A1A2, soit :

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      Ainsi, l’équation de la droite A3N a la forme :

      $$\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{cases}.$$

      Pour trouver l’équation d’un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2, il faut trouver son vecteur normal. Le vecteur normal du plan sera colinéaire au produit vectoriel du vecteur dirigé selon la droite A1A2 et du vecteur dirigé du point A4 au point d'intersection de la droite A1A2 avec le plan A1A2A3. Ainsi, le vecteur normal du plan est :

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}. $$

      Considérant que le point A4 a pour coordonnées $(-1;0;2)$, l'équation plane a la forme :

      $$-10x + 14y - 6z + d = 0.$$

      Afin de trouver $d$, on substitue les coordonnées du point A4 :

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \Rightarrow d = -2.$$

      Ainsi, l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 a la forme :

      $$-10x + 14y - 6z - 2 = 0.$$

      Pour calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 3 est une tâche mathématique qui comprend la résolution de plusieurs problèmes de recherche d'équations de plans et de lignes dans un espace tridimensionnel, ainsi que la recherche d'angles entre des lignes et des plans. La tâche comporte quatre points dans un espace tridimensionnel et vous demande de trouver divers objets géométriques associés à ces points.

Pour résoudre les problèmes de la tâche, il est nécessaire d'utiliser la connaissance de l'algèbre vectorielle et scalaire, ainsi que de la géométrie dans l'espace tridimensionnel. En résolvant chaque problème, il est nécessaire d'appliquer systématiquement les formules et méthodes de solution étudiées afin d'obtenir des réponses aux questions posées.

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