IDZ Ryabushko 3.1 選項 3

1. 給定四點 A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2)。有必要創建方程式：
   1. 飛機 A1A2A3；
   2. 直接A1A2；
   3. 直線A4M，垂直於平面A1A2A3；
   4. 線A3N與線A1A2平行；
   5. 通過點A4，垂直於直線A1A2的平面；
   您還需要計算：
   1. 直線A1A4與平面A1A2A3之間夾角的正弦；
   2. 座標平面 Oxy 與平面 A1A2A3 之間的角度的餘弦。
2. 需要求一點到平面的距離。
3. 需要建立一條穿過點M(1;–3;3)並與座標軸分別成60°的直線方程式； 45 和 120。

   1. 為了求出平面 A1A2A3 的方程，需要找出它的兩個方向向量的向量積：

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}, \ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      因此，$$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}。$$

      平面方程式可寫為：

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      為了找出$d$，我們取代點$A_1$的座標：

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \Rightarrow d = -6.$$

      因此，平面 A1A2A3 的方程式具有以下形式：

      $$18x + 8y - 6z - 6 = 0.$$

      為了找到直線A1A2的方程，您需要找到它的方向向量：

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      因此，直線 A1A2 的方程式具有以下形式：

      $$\begin{情況} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      為了求垂直於平面A1A2A3的直線A4M的方程，需要求該直線的方向向量。方向向量將沿著垂直於平面A1A2A3的向量定向，我們在解決問題a）時已經找到了這個向量。因此，直線A4M的方向向量等於：

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      考慮點$M$的座標為$(1;-3;3)$，直線A4M的方程式為：

      $$\begin{案例} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{案例}.$$

      為了求出與直線A1A2平行的直線A3N的方程，需要求其方向向量。這條線的方向向量將與沿著直線 A1A2 指向的向量共線，即：

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      因此，直線 A3N 的方程式具有以下形式：

      $$\begin{事例} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{事例}.$$

      為了求出通過點A4並垂直於線A1A2的平面的方程，需要求其法向量。此平面的法向量將與沿直線 A1A2 指向的向量和從點 A4 指向直線 A1A2 與平面 A1A2A3 交點的向量的向量積共線。因此，平面的法向量為：

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}。 $$

      考慮到點 A4 的座標為 $(-1;0;2)$，平面方程式的形式為：

      $$-10x + 14y - 6z + d = 0.$$

      為了找出$d$，我們取代點A4的座標：

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \Rightarrow d = -2.$$

      因此，經過點 A4 並垂直於線 A1A2 的平面方程式具有以下形式：

      $$-10x + 14y - 6z - 2 = 0.$$

      計算直線 A1A4 與平面 A1A2A3 之間的角度的正弦

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