IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 3

1. Dati quattro punti A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). È necessario creare equazioni:
   1. Aerei A1A2A3;
   2. Diretto A1A2;
   3. Retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3;
   4. Linea A3N parallela alla linea A1A2;
   5. Il piano passante per il punto A4, perpendicolare alla retta A1A2;
   Devi anche calcolare:
   1. Seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3;
   2. Coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3.
2. È necessario trovare la distanza da un punto a un piano.
3. È necessario creare un'equazione per una retta passante per il punto M(1;–3;3) e formante angoli con gli assi coordinati rispettivamente di 60; 45 e 120.

   1. Per trovare l'equazione del piano A1A2A3 è necessario trovare il prodotto vettoriale dei suoi due vettori di direzione:

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}, \ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrice}.$$

      Pertanto, $$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      L’equazione del piano può essere scritta come:

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      Per trovare $d$ sostituiamo le coordinate del punto $A_1$:

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \Rightarrow d = -6.$$

      Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 ha la forma:

      $$18x + 8y - 6z - 6 = 0.$$

      Per trovare l'equazione della retta A1A2, devi trovare il suo vettore direzione:

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrice}.$$

      Pertanto, l’equazione della retta A1A2 ha la forma:

      $$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      Per trovare l'equazione della retta A4M perpendicolare al piano A1A2A3 è necessario trovare il vettore direzione di tale retta. Il vettore di direzione sarà diretto lungo il vettore perpendicolare al piano A1A2A3 e abbiamo già trovato questo vettore risolvendo il problema a). Pertanto, il vettore direzione della retta A4M è uguale a:

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Considerando che il punto $M$ ha coordinate $(1;-3;3)$, l'equazione della retta A4M ha la forma:

      $$\begin{cases} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{cases}.$$

      Per trovare l'equazione della retta A3N parallela alla retta A1A2 è necessario trovare il suo vettore direzione. Il vettore direzione di questa retta sarà collineare al vettore diretto lungo la retta A1A2, cioè:

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrice}.$$

      Pertanto, l’equazione della retta A3N ha la forma:

      $$\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{cases}.$$

      Per trovare l'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2, è necessario trovare il suo vettore normale. Il vettore normale del piano sarà collineare al prodotto vettoriale del vettore diretto lungo la retta A1A2 e del vettore diretto dal punto A4 al punto di intersezione della retta A1A2 con il piano A1A2A3. Pertanto il vettore normale del piano è:

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}. $$

      Considerando che il punto A4 ha coordinate $(-1;0;2)$, l'equazione del piano ha la forma:

      $$-10x + 14y - 6z + d = 0.$$

      Per trovare $d$ sostituiamo le coordinate del punto A4:

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \Rightarrow d = -2.$$

      Pertanto, l'equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 ha la forma:

      $$-10x + 14y - 6z - 2 = 0,$$

      Per calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3

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IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 3 è un compito di matematica che include la risoluzione di diversi problemi sulla ricerca di equazioni di piani e linee nello spazio tridimensionale, nonché sulla ricerca di angoli tra linee e piani. Al compito vengono assegnati quattro punti nello spazio tridimensionale e richiede di trovare vari oggetti geometrici associati a questi punti.

Per risolvere i problemi del compito, è necessario utilizzare la conoscenza dell'algebra vettoriale e scalare, nonché della geometria nello spazio tridimensionale. Nella risoluzione di ogni problema, è necessario applicare coerentemente le formule studiate e i metodi di soluzione per ottenere risposte alle domande poste.

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