IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 3

1. 4 つの点 A1(3;5;4) が与えられるとします。 A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(-1;0;2)。方程式を作成する必要があります。
   1. 飛行機A1A2A3。
   2. 直接A1A2;
   3. 直線 A4M、平面 A1A2A3 に垂直。
   4. 線A3Nは線A1A2と平行。
   5. 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面。
   次のことも計算する必要があります。
   1. 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。
   2. 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。
2. 点から平面までの距離を求める必要があります。
3. 点 M(1;–3;3) を通り、座標軸となす角がそれぞれ 60 度の直線の方程式を作成する必要があります。 45と120。

   1. 平面 A1A2A3 の方程式を見つけるには、その 2 つの方向ベクトルのベクトル積を見つける必要があります。

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}、\ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      したがって、 $$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      平面方程式は次のように記述できます。

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      $d$ を見つけるために、点 $A_1​​$ の座標を代入します。

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \Rightarrow d = -6.$$

      したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次の形式になります。

      $$18x + 8y - 6z - 6 = 0.$$

      直線 A1A2 の方程式を見つけるには、その方向ベクトルを見つける必要があります。

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      したがって、直線 A1A2 の方程式は次の形式になります。

      $$\begin{件} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      平面A1A2A3に垂直な直線A4Mの方程式を求めるには、この直線の方向ベクトルを求める必要がある。方向ベクトルは、平面 A1A2A3 に垂直なベクトルに沿って方向付けられ、問題 a) を解くときにこのベクトルをすでに見つけています。したがって、直線 A4M の方向ベクトルは次と等しくなります。

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      点 $M$ の座標が $(1;-3;3)$ であるとすると、直線 A4M の方程式は次の形式になります。

      $$\begin{cases} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{cases}.$$

      直線A1A2に平行な直線A3Nの方程式を求めるには、その方向ベクトルを求める必要があります。この線の方向ベクトルは、直線 A1A2 に沿ったベクトルと同一直線上にあります。つまり、次のようになります。

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      したがって、直線 A3N の方程式は次の形式になります。

      $$\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{cases}.$$

      点A4を通り、線A1A2に垂直な平面の方程式を求めるには、その法線ベクトルを求める必要があります。平面の法線ベクトルは、直線 A1A2 に沿ったベクトルと点 A4 から直線 A1A2 と平面 A1A2A3 の交点に向かうベクトルのベクトル積と同一直線上にあります。したがって、平面の法線ベクトルは次のようになります。

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}。 $$

      点 A4 の座標が $(-1;0;2)$ であることを考慮すると、平面方程式は次の形式になります。

      $$-10x + 14y - 6z + d = 0.$$

      $d$ を見つけるために、点 A4 の座標を代入します。

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \Rightarrow d = -2.$$

      したがって、点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は次の形式になります。

      $$-10x + 14y - 6z - 2 = 0.$$

      直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算するには

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