IDZ Ryabushko 3.1 Opción 3

1. Dados cuatro puntos A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). Es necesario crear ecuaciones:
   1. Aviones A1A2A3;
   2. Directo A1A2;
   3. Recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3;
   4. Línea A3N paralela a la línea A1A2;
   5. El plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2;
   También necesitas calcular:
   1. Seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3;
   2. Coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.
2. Es necesario encontrar la distancia de un punto a un plano.
3. Es necesario crear una ecuación para una línea recta que pasa por el punto M(1;–3;3) y forma ángulos con los ejes de coordenadas, respectivamente, de 60; 45 y 120.

   1. Para encontrar la ecuación del plano A1A2A3, es necesario encontrar el producto vectorial de sus dos vectores directores:

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}, \ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Por lo tanto, $$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      La ecuación del plano se puede escribir como:

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      Para encontrar $d$, sustituimos las coordenadas del punto $A_1$:

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \Rightarrow d = -6.$$

      Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma:

      $$18x + 8y - 6z - 6 = 0.$$

      Para encontrar la ecuación de la línea recta A1A2, necesitas encontrar su vector director:

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatriz}.$$

      Así, la ecuación de la recta A1A2 tiene la forma:

      $$\begin{casos} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      Para encontrar la ecuación de la recta A4M perpendicular al plano A1A2A3, es necesario encontrar el vector director de esta recta. El vector dirección se dirigirá a lo largo del vector perpendicular al plano A1A2A3, y ya encontramos este vector al resolver el problema a). Así, el vector director de la recta A4M es igual a:

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Considerando que el punto $M$ tiene coordenadas $(1;-3;3)$, la ecuación de la recta A4M tiene la forma:

      $$\begin{casos} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{casos}.$$

      Para encontrar la ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2, es necesario encontrar su vector director. El vector director de esta recta será colineal con el vector dirigido a lo largo de la recta A1A2, es decir:

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatriz}.$$

      Así, la ecuación de la recta A3N tiene la forma:

      $$\begin{casos} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{casos}.$$

      Para encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2, es necesario encontrar su vector normal. El vector normal del plano será colineal al producto vectorial del vector dirigido a lo largo de la recta A1A2 y el vector dirigido desde el punto A4 hasta el punto de intersección de la recta A1A2 con el plano A1A2A3. Por tanto, el vector normal del avión es:

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}. $$

      Considerando que el punto A4 tiene coordenadas $(-1;0;2)$, la ecuación del plano tiene la forma:

      $$-10x + 14y - 6z + d = 0.$$

      Para encontrar $d$, sustituimos las coordenadas del punto A4:

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \Rightarrow d = -2.$$

      Así, la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta A1A2 tiene la forma:

      $$-10x + 14y - 6z - 2 = 0.$$

      Calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3

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Para resolver problemas de la tarea, es necesario utilizar conocimientos de álgebra vectorial y escalar, así como de geometría en el espacio tridimensional. Al resolver cada problema, es necesario aplicar consistentemente las fórmulas y métodos de solución estudiados para obtener respuestas a las preguntas planteadas.

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