IDZ Ryabushko 3.1 Option 3

1. Gegeben sind vier Punkte A1(3;5;4); A2(5;8;3); A3(1;2;–2); A4(–1;0;2). Es müssen Gleichungen erstellt werden:
   1. Flugzeuge A1A2A3;
   2. Direkt A1A2;
   3. Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3;
   4. Linie A3N parallel zur Linie A1A2;
   5. Die Ebene, die durch Punkt A4 verläuft, senkrecht zur Geraden A1A2;
   Sie müssen außerdem Folgendes berechnen:
   1. Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3;
   2. Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.
2. Es ist notwendig, den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu ermitteln.
3. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine gerade Linie zu erstellen, die durch den Punkt M(1;–3;3) verläuft und jeweils Winkel von 60° mit den Koordinatenachsen bildet; 45 und 120.

   1. Um die Gleichung der Ebene A1A2A3 zu finden, muss das Vektorprodukt ihrer beiden Richtungsvektoren ermittelt werden:

      $$\vec{a_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}, \ \vec{a_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-5 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Somit ist $$\vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Die Ebenengleichung kann wie folgt geschrieben werden:

      $$18x + 8y - 6z + d = 0.$$

      Um $d$ zu finden, ersetzen wir die Koordinaten des Punktes $A_1$:

      $$18 \cdot 3 + 8 \cdot 5 - 6 \cdot 4 + d = 0 \Rightarrow d = -6.$$

      Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form:

      $$18x + 8y - 6z - 6 = 0.$$

      Um die Gleichung der Geraden A1A2 zu finden, müssen Sie ihren Richtungsvektor ermitteln:

      $$\vec{b} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      Somit hat die Gleichung der Geraden A1A2 die Form:

      $$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 4 - t \end{p>

      Um die Gleichung der Geraden A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 zu finden, muss der Richtungsvektor dieser Geraden ermittelt werden. Der Richtungsvektor wird entlang des Vektors senkrecht zur Ebene A1A2A3 gerichtet sein, und diesen Vektor haben wir bereits bei der Lösung von Problem a) gefunden. Somit ist der Richtungsvektor der Geraden A4M gleich:

      $$\vec{c} = \vec{n} = \begin{pmatrix} 18 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

      Wenn man bedenkt, dass der Punkt $M$ die Koordinaten $(1;-3;3)$ hat, hat die Gleichung der Geraden A4M die Form:

      $$\begin{cases} x = 1 + 18t \\ y = -3 + 8t \\ z = 3 - 6t \end{cases}.$$

      Um die Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2 zu finden, ist es notwendig, ihren Richtungsvektor zu finden. Der Richtungsvektor dieser Linie ist kollinear zum Vektor, der entlang der Geraden A1A2 gerichtet ist, das heißt:

      $$\vec{d} = \overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 8-5 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{pmatrix}.$$

      Somit hat die Gleichung der Geraden A3N die Form:

      $$\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = -2 - t \end{cases}.$$

      Um die Gleichung einer Ebene zu finden, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, muss der Normalenvektor ermittelt werden. Der Normalenvektor der Ebene ist kollinear zum Vektorprodukt des entlang der Geraden A1A2 gerichteten Vektors und des vom Punkt A4 zum Schnittpunkt der Geraden A1A2 mit der Ebene A1A2A3 gerichteten Vektors. Somit ist der Normalenvektor der Ebene:

      $$\vec{m} = \vec{b} \times (\vec{a_1} \times \vec{b}) = \begin{pmatrix} -10 \\ 14 \\ -6 \end{pmatrix}. $$

      Wenn man bedenkt, dass Punkt A4 die Koordinaten $(-1;0;2)$ hat, hat die Ebenengleichung die Form:

      $$-10x + 14y - 6z + d = 0.$$

      Um $d$ zu finden, ersetzen wir die Koordinaten von Punkt A4:

      $$-10 \cdot (-1) + 14 \cdot 0 - 6 \cdot 2 + d = 0 \Rightarrow d = -2.$$

      Somit hat die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, die Form:

      $$-10x + 14y - 6z - 2 = 0.$$

      Berechnen des Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 3 ist eine mathematische Aufgabe, die das Lösen mehrerer Probleme zum Finden von Gleichungen von Ebenen und Linien im dreidimensionalen Raum sowie zum Finden von Winkeln zwischen Linien und Ebenen umfasst. Die Aufgabe besteht aus vier Punkten im dreidimensionalen Raum und erfordert, dass Sie verschiedene geometrische Objekte finden, die diesen Punkten zugeordnet sind.

Zur Lösung der Aufgabenstellung sind Kenntnisse der Vektor- und Skalaralgebra sowie der Geometrie im dreidimensionalen Raum erforderlich. Bei der Lösung jedes Problems ist es notwendig, die untersuchten Formeln und Lösungsmethoden konsequent anzuwenden, um Antworten auf die gestellten Fragen zu erhalten.

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