Soluzione al problema 3.3.7 dalla collezione di Kepe O.E.

Problema 3.3.7 dalla collezione di Kepe O.?. è come segue: "Determina come cambierà il periodo di oscillazione di un pendolo matematico se è sospeso sulla Luna. La massa del pendolo e la lunghezza della sospensione rimangono invariate, l'accelerazione di caduta libera sulla Luna è circa 1/6 di quella sulla terra."

Per risolvere questo problema, è necessario utilizzare la formula per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico: T = 2π√(l/g)

dove T è il periodo di oscillazione, l è la lunghezza della sospensione del pendolo, g è l'accelerazione di caduta libera.

Sulla Luna l'accelerazione di gravità è circa 6 volte inferiore a quella della Terra, cioè g(Luna) = g(Terra)/6. Sostituendo questo valore nella formula del periodo, otteniamo: T(Luna) = 2π√(l/g(Luna)) = 2π√(l/(g(Terra)/6)) = 2π√(6l/g(Terra))

Pertanto, il periodo di oscillazione di un pendolo matematico sulla Luna sarà circa 2,4 volte più lungo che sulla Terra.

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Problema 3.3.7 dalla raccolta "Matematica superiore. Equazioni differenziali" di Kepe O.?. è così formulato:

"Risolvi l'equazione differenziale y'' + 2y' + 5y = 0 se è noto che y(0) = 1 e y'(0) = -2."

Per risolvere questo problema è necessario utilizzare il metodo di Laplace o l'equazione caratteristica. Il metodo di Laplace consiste nell'applicare la trasformata di Laplace ad un'equazione differenziale, dopodiché l'equazione algebrica risultante viene risolta rispetto alla funzione desiderata. L'equazione caratteristica si trova dalla relazione tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici.

Utilizzando il metodo di Laplace, si può ottenere una soluzione nella forma y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)), dove c1 e c2 sono costanti arbitrarie. Sostituendo le condizioni iniziali, otteniamo un sistema di equazioni per queste costanti. Risolvendo questo sistema, è possibile ottenere una soluzione specifica al problema.

Pertanto, la soluzione al problema 3.3.7 dalla raccolta di Kepe O.?. consiste nel trovare la funzione y(t) utilizzando l'equazione differenziale y'' + 2y' + 5y = 0 e le condizioni iniziali y(0) = 1 e y'(0) = -2.

Soluzione al problema 3.3.7 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare la forza elastica della molla in kN quando il meccanismo è in equilibrio, se la forza di pressione reciproca della manovella OAS e della biella AB nella cerniera A è pari a 1 kN. Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di Hooke, che stabilisce una dipendenza lineare della deformazione di una molla dalla forza ad essa applicata. Inoltre, per risolvere il problema, è necessario utilizzare la legge di conservazione dell'energia, che stabilisce l'uguaglianza del lavoro svolto dalle forze quando si sposta un meccanismo da una posizione all'altra.

A seconda delle condizioni del problema, è nota la forza di pressione reciproca della manovella OAS e della biella AB nella cerniera A, che è pari a 1 kN. È anche noto che il meccanismo è in equilibrio, cioè la somma di tutte le forze che agiscono sul meccanismo è zero.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare il seguente algoritmo:

1. Determinare la direzione d'azione della forza elastica della molla. Poiché il meccanismo è in equilibrio, la direzione della forza elastica della molla deve essere opposta alla direzione della forza di pressione reciproca della manovella OAS e della biella AB nella cerniera A.

2. Trova la deformazione primaverile. Per fare ciò è necessario utilizzare la legge di Hooke, che stabilisce una dipendenza lineare della deformazione di una molla dalla forza ad essa applicata. La formula per calcolare la deformazione della molla è la seguente: Δl = F/k, dove Δl è la deformazione della molla, F è la forza agente sulla molla, k è il coefficiente di elasticità della molla.

3. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza elastica della molla. Per fare ciò è necessario trovare l'area del grafico della dipendenza della forza elastica della molla dalla sua deformazione. Poiché la molla è un elemento elastico lineare, il rapporto tra la forza elastica e la sua deformazione è una linea retta. L'area sotto questa linea è uguale al lavoro compiuto dalla forza elastica della molla.

4. Trovare il valore del coefficiente di elasticità della molla. Per fare ciò è necessario utilizzare la formula k = F/Δl, dove F è la forza che agisce sulla molla, Δl è la deformazione della molla.

5. Trovare il valore della forza elastica della molla. Per fare ciò è necessario utilizzare la formula F = kΔl, dove F è la forza che agisce sulla molla, k è il coefficiente di elasticità della molla, Δl è la deformazione della molla.

Quindi, a seconda delle condizioni del problema, è noto che la forza di pressione reciproca della manovella OAS e della biella AB nella cerniera A è pari a 1 kN e la risposta al problema è pari a 0,707 kN. Per risolvere il problema, è necessario utilizzare l'algoritmo sopra descritto.

1. La direzione di azione della forza elastica della molla deve essere opposta alla direzione della forza di pressione reciproca della manovella OAS e della biella AB nella cerniera A.

2. Troviamo la deformazione della molla. Utilizzando la formula Δl = F/k, dove F = 1 kN, è necessario trovare il coefficiente di elasticità della molla k. Per fare ciò troviamo il lavoro compiuto dalla forza elastica della molla. L'area sotto il grafico della dipendenza lineare della forza elastica dalla sua deformazione è uguale al lavoro compiuto dalla forza elastica della molla. L'area sotto la retta può essere trovata come l'area del triangolo formato dall'asse verticale e dai due punti del grafico corrispondenti alle deformazioni della molla, rispettivamente 0 e Δl. L'area del triangolo è 0,5kΔl^2. Poiché il lavoro compiuto dalla forza elastica della molla è uguale al lavoro di interazione tra la forza di pressione reciproca della manovella OAS e della biella AB nella cerniera A, il lavoro compiuto dalla forza elastica della molla è pari a 1 kNM. Quindi, 0,5kΔl^2 = 1 кНm. Risolvendo questa equazione per Δl, otteniamo Δl = 0,1414 m.

3. Troviamo il valore del coefficiente di elasticità della molla. Secondo la formula k = F/Δl, dove F = 1 kN, k = 1 kN/0,1414 m = 7,07 kN/m.

4. Troviamo il valore della forza elastica della molla. Secondo la formula F = kΔl, F = 7,07 кН/m0,1414 m = 1 kN.

Pertanto, la forza elastica della molla quando il meccanismo è in equilibrio è 1 kN.

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