Lösung zu Aufgabe 3.3.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 3.3.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt: „Bestimmen Sie, wie sich die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ändert, wenn es auf dem Mond aufgehängt wird. Die Masse des Pendels und die Länge der Aufhängung bleiben unverändert, die Beschleunigung des freien Falls auf dem Mond beträgt etwa 1/6 davon auf der Erde."

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie die Formel für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels verwenden: T = 2π√(l/g)

Dabei ist T die Schwingungsdauer, l die Länge der Pendelaufhängung und g die Beschleunigung des freien Falls.

Auf dem Mond ist die Erdbeschleunigung etwa sechsmal geringer als auf der Erde, d. h. g(Mond) = g(Erde)/6. Wenn wir diesen Wert in die Formel für den Zeitraum einsetzen, erhalten wir: T(Mond) = 2π√(l/g(Mond)) = 2π√(l/(g(Erde)/6)) = 2π√(6l/g(Erde))

Somit ist die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels auf dem Mond etwa 2,4-mal länger als auf der Erde.

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Aufgabe 3.3.7 aus der Sammlung „Higher Mathematics. Differential Equations“ von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

„Lösen Sie die Differentialgleichung y'' + 2y' + 5y = 0, wenn bekannt ist, dass y(0) = 1 und y'(0) = -2.“

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Laplace-Methode oder die charakteristische Gleichung zu verwenden. Die Laplace-Methode besteht darin, die Laplace-Transformation auf eine Differentialgleichung anzuwenden und anschließend die resultierende algebraische Gleichung in Bezug auf die gewünschte Funktion zu lösen. Die charakteristische Gleichung ergibt sich aus der Beziehung zwischen den Koeffizienten der Gleichung und ihren Wurzeln.

Mit der Laplace-Methode können wir eine Lösung in der Form y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)) erhalten, wobei c1 und c2 beliebige Konstanten sind. Durch Ersetzen der Anfangsbedingungen erhalten wir ein Gleichungssystem für diese Konstanten. Durch die Lösung dieses Systems können Sie eine spezifische Lösung für das Problem erhalten.

Somit die Lösung zu Aufgabe 3.3.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Funktion y(t) mithilfe der Differentialgleichung y'' + 2y' + 5y = 0 und den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y'(0) = -2 zu finden.

Lösung zu Aufgabe 3.3.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die elastische Kraft der Feder in kN zu bestimmen, wenn sich der Mechanismus im Gleichgewicht befindet, wenn die gegenseitige Druckkraft der Kurbel OAS und der Pleuelstange AB im Scharnier A gleich 1 kN ist. Um das Problem zu lösen, muss das Hookesche Gesetz verwendet werden, das eine lineare Abhängigkeit der Verformung einer Feder von der auf sie ausgeübten Kraft festlegt. Um das Problem zu lösen, ist es außerdem notwendig, den Energieerhaltungssatz anzuwenden, der die Gleichheit der von den Kräften geleisteten Arbeit festlegt, wenn ein Mechanismus von einer Position in eine andere bewegt wird.

Je nach Problemstellung ist die gegenseitige Druckkraft der Kurbel OAS und der Pleuelstange AB im Scharnier A bekannt, die 1 kN beträgt. Es ist auch bekannt, dass sich der Mechanismus im Gleichgewicht befindet, d. h. die Summe aller auf den Mechanismus wirkenden Kräfte ist Null.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

1. Bestimmen Sie die Wirkungsrichtung der elastischen Kraft der Feder. Da sich der Mechanismus im Gleichgewicht befindet, muss die Richtung der elastischen Kraft der Feder der Richtung der gegenseitigen Druckkraft der Kurbel OAS und der Pleuelstange AB im Scharnier A entgegengesetzt sein.

2. Finden Sie die Federverformung. Dazu ist es notwendig, das Hookesche Gesetz zu verwenden, das eine lineare Abhängigkeit der Verformung einer Feder von der auf sie ausgeübten Kraft festlegt. Die Formel zur Berechnung der Federverformung lautet wie folgt: Δl = F/k, wobei Δl die Federverformung, F die auf die Feder wirkende Kraft und k der Elastizitätskoeffizient der Feder ist.

3. Finden Sie die Arbeit, die die elastische Kraft der Feder verrichtet. Dazu ist es notwendig, die Fläche des Diagramms der Abhängigkeit der elastischen Kraft der Feder von ihrer Verformung zu ermitteln. Da die Feder ein lineares elastisches Element ist, ist der Zusammenhang zwischen der elastischen Kraft und ihrer Verformung eine Gerade. Die Fläche unter dieser Linie entspricht der von der Federkraft geleisteten Arbeit.

4. Ermitteln Sie den Wert des Federelastizitätskoeffizienten. Dazu müssen Sie die Formel k = F/Δl verwenden, wobei F die auf die Feder wirkende Kraft und Δl die Verformung der Feder ist.

5. Ermitteln Sie den Wert der elastischen Kraft der Feder. Dazu muss die Formel F = kΔl verwendet werden, wobei F die auf die Feder wirkende Kraft, k der Elastizitätskoeffizient der Feder und Δl die Verformung der Feder ist.

Entsprechend den Bedingungen des Problems ist bekannt, dass die gegenseitige Druckkraft der Kurbel OAS und der Pleuelstange AB im Scharnier A 1 kN beträgt und die Lösung des Problems 0,707 kN beträgt. Um das Problem zu lösen, müssen Sie den oben beschriebenen Algorithmus verwenden.

1. Die Wirkungsrichtung der elastischen Kraft der Feder muss der Richtung der gegenseitigen Druckkraft der Kurbel OAS und der Pleuelstange AB im Scharnier A entgegengesetzt sein.

2. Finden wir die Verformung der Feder. Mit der Formel Δl = F/k, wobei F = 1 kN, muss der Federelastizitätskoeffizient k ermittelt werden. Dazu ermitteln wir die von der elastischen Kraft der Feder geleistete Arbeit. Die Fläche unter dem Diagramm der linearen Abhängigkeit der elastischen Kraft von ihrer Verformung ist gleich der von der elastischen Kraft der Feder geleisteten Arbeit. Die Fläche unter der Geraden kann als Fläche des Dreiecks ermittelt werden, das durch die vertikale Achse und die beiden Punkte im Diagramm gebildet wird, die den Federverformungen 0 bzw. Δl entsprechen. Die Fläche des Dreiecks beträgt 0,5kΔl^2. Da die von der elastischen Kraft der Feder geleistete Arbeit gleich der Wechselwirkungsarbeit zwischen der gegenseitigen Druckkraft der Kurbel OAS und der Pleuelstange AB im Scharnier A ist, ist die von der elastischen Kraft der Feder geleistete Arbeit gleich 1 kNm. Also 0,5kΔl^2 = 1 кНm. Wenn wir diese Gleichung nach Δl auflösen, erhalten wir Δl = 0,1414 m.

3. Lassen Sie uns den Wert des Federelastizitätskoeffizienten ermitteln. Gemäß der Formel k = F/Δl, wobei F = 1 kN, k = 1 kN/0,1414 m = 7,07 kN/m.

4. Lassen Sie uns den Wert der elastischen Kraft der Feder ermitteln. Nach der Formel F = kΔl, F = 7,07 кН/m0,1414 m = 1 kN.

Somit beträgt die Federkraft der Feder im Gleichgewicht des Mechanismus 1 kN.

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