Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E.

Задача 3.3.7 от сборника на Кепе О.?. е както следва: "Определете как ще се промени периодът на трептене на математическо махало, ако бъде окачено на Луната. Масата на махалото и дължината на окачването остават непроменени, ускорението на свободното падане на Луната е приблизително 1/6 от това на земята."

За да разрешите този проблем, трябва да използвате формулата за периода на трептене на математическо махало: T = 2π√(l/g)

където T е периодът на трептене, l е дължината на окачването на махалото, g е ускорението на свободното падане.

На Луната гравитационното ускорение е приблизително 6 пъти по-малко, отколкото на Земята, тоест g(Луна) = g(Земя)/6. Замествайки тази стойност във формулата за периода, получаваме: T(Луна) = 2π√(l/g(Луна)) = 2π√(l/(g(Земя)/6)) = 2π√(6l/g(Земя))

По този начин периодът на трептене на математическото махало на Луната ще бъде приблизително 2,4 пъти по-дълъг, отколкото на Земята.

***

Задача 3.3.7 от сборника "Висша математика. Диференциални уравнения" на Кепе О.?. се формулира по следния начин:

„Решете диференциалното уравнение y'' + 2y' + 5y = 0, ако е известно, че y(0) = 1 и y'(0) = -2.“

За решаването на този проблем е необходимо да се използва методът на Лаплас или характеристичното уравнение. Методът на Лаплас се състои в прилагане на трансформацията на Лаплас към диференциално уравнение, след което полученото алгебрично уравнение се решава по отношение на желаната функция. Характеристичното уравнение се намира от връзката между коефициентите на уравнението и неговите корени.

Използвайки метода на Лаплас, можем да получим решение във формата y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)), където c1 и c2 са произволни константи. Замествайки началните условия, получаваме система от уравнения за тези константи. Чрез решаването на тази система можете да получите конкретно решение на проблема.

Така решението на задача 3.3.7 от колекцията на Kepe O.?. се състои в намиране на функцията y(t) с помощта на диференциалното уравнение y'' + 2y' + 5y = 0 и началните условия y(0) = 1 и y'(0) = -2.

Решение на задача 3.3.7 от сборника на Кепе О.?. се състои в определяне на еластичната сила на пружината в kN, когато механизмът е в равновесие, ако взаимната сила на натиск на манивелата OAS и съединителния прът AB в шарнир A е равна на 1 kN. За да се реши задачата, е необходимо да се използва законът на Хук, който установява линейна зависимост на деформацията на пружина от силата, приложена към нея. Също така, за да се реши проблемът, е необходимо да се използва законът за запазване на енергията, който установява равенството на работата, извършена от силите при преместване на механизъм от една позиция в друга.

Съгласно условията на задачата е известна силата на взаимния натиск на манивелата OAS и мотовилката AB в шарнира A, която е равна на 1 kN. Известно е също, че механизмът е в равновесие, т.е. сумата от всички сили, действащи върху механизма, е нула.

За да разрешите проблема, трябва да използвате следния алгоритъм:

1. Определете посоката на действие на еластичната сила на пружината. Тъй като механизмът е в равновесие, посоката на еластичната сила на пружината трябва да е противоположна на посоката на силата на взаимния натиск на манивелата OAS и съединителния прът AB в шарнира A.

2. Намерете деформацията на пружината. За да направите това, е необходимо да използвате закона на Хук, който установява линейна зависимост на деформацията на пружина от силата, приложена към нея. Формулата за изчисляване на деформацията на пружината е следната: Δl = F/k, където Δl е деформацията на пружината, F е силата, действаща върху пружината, k е коефициентът на еластичност на пружината.

3. Намерете работата, извършена от еластичната сила на пружината. За да направите това, е необходимо да намерите площта на графиката на зависимостта на еластичната сила на пружината от нейната деформация. Тъй като пружината е линеен еластичен елемент, връзката между еластичната сила и нейната деформация е права линия. Площта под тази линия е равна на работата, извършена от еластичната сила на пружината.

4. Намерете стойността на коефициента на еластичност на пружината. За да направите това, трябва да използвате формулата k = F/Δl, където F е силата, действаща върху пружината, Δl е деформацията на пружината.

5. Намерете стойността на еластичната сила на пружината. За да направите това, трябва да използвате формулата F = kΔl, където F е силата, действаща върху пружината, k е коефициентът на еластичност на пружината, Δl е деформацията на пружината.

И така, според условията на задачата е известно, че силата на взаимния натиск на манивелата OAS и свързващия прът AB в шарнир A е равна на 1 kN, а отговорът на задачата е равен на 0,707 kN. За да разрешите проблема, трябва да използвате алгоритъма, описан по-горе.

1. Посоката на действие на еластичната сила на пружината трябва да бъде противоположна на посоката на силата на взаимния натиск на манивелата OAS и съединителния прът AB в шарнира A.

2. Нека намерим деформацията на пружината. Използвайки формулата Δl = F/k, където F = 1 kN, е необходимо да се намери коефициентът на еластичност на пружината k. За да направим това, намираме работата, извършена от еластичната сила на пружината. Площта под графиката на линейната зависимост на еластичната сила от нейната деформация е равна на работата, извършена от еластичната сила на пружината. Площта под правата линия може да се намери като площта на триъгълника, образуван от вертикалната ос и двете точки на графиката, съответстващи на деформациите на пружината, съответно 0 и Δl. Площта на триъгълника е 0,5kΔl^2. Тъй като работата, извършена от еластичната сила на пружината, е равна на работата на взаимодействието между силата на взаимния натиск на манивелата OAS и свързващия прът AB в шарнир A, работата, извършена от еластичната сила на пружината, е равна на 1 kNм. Така че, 0,5kΔl^2 = 1 кНм. Решавайки това уравнение за Δl, получаваме Δl = 0,1414 m.

3. Нека намерим стойността на коефициента на еластичност на пружината. Съгласно формулата k = F/Δl, където F = 1 kN, k = 1 kN/0,1414 m = 7,07 kN/m.

4. Нека намерим стойността на еластичната сила на пружината. Съгласно формулата F = kΔl, F = 7,07 кН/м0,1414 m = 1 kN.

Така еластичната сила на пружината, когато механизмът е в равновесие, е 1 kN.

***

1. Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. е отличен дигитален продукт за тези, които искат да подобрят знанията си по математика.
2. Много съм благодарен за решението на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. - помогна ми да се подготвя за изпита.
3. Този цифров продукт предоставя ясно и логично решение на задача 3.3.7 от колекцията на Kepe O.E. - това помага за по-доброто разбиране на материала.
4. Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. беше много полезно за изучаването ми на математика.
5. Намерих решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. много ясен и лесен за нанасяне.
6. Този цифров продукт е отличен вариант за тези, които търсят ефективен начин за решаване на задача 3.3.7 от колекцията на Kepe O.E.
7. Препоръчвам решението на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. за тези, които искат да подобрят своите математически умения.

Особености:

Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. Помогна ми да разбера по-добре математиката.

Този цифров продукт ми предостави пълни и разбираеми инструкции за решаване на проблем 3.3.7.

Благодарение на това решение на задачата завърших успешно домашното си.

Много качествен материал и ясно обяснение на решението.

Решението на проблем 3.3.7 беше лесно за изтегляне и използване.

Препоръчвам този цифров продукт на всеки, който се сблъсква с трудни математически задачи.

Много полезен и информативен дигитален продукт, който помага при преподаването на математика.

Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. страхотен дигитален продукт за тези, които се занимават с математика.

Този продукт ще ви помогне да разберете по-добре и да научите как да решавате проблеми от колекцията на Kepe O.E.

Много е удобно да имате достъп до решаване на проблеми на вашия компютър или таблет - това спестява време и опростява работата ви.

Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. представени по ясен и логичен начин, което го прави много удобен за използване.

Благодарение на този дигитален продукт можете да изучавате материала по всяко време и на удобно за вас място.

Решение на задача 3.3.7 от сборника на Kepe O.E. е чудесен начин да проверите знанията и уменията си по математика.

Този дигитален продукт ще ви помогне да се подготвите за изпити или математически олимпиади.