Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E.

Problém 3.3.7 ze sbírky Kepe O.?. je následující: "Určete, jak se změní perioda kmitání matematického kyvadla, bude-li zavěšeno na Měsíci. Hmotnost kyvadla a délka závěsu zůstávají nezměněny, zrychlení volného pádu na Měsíci je přibližně 1/6 toho na Zemi."

Chcete-li tento problém vyřešit, musíte použít vzorec pro periodu oscilace matematického kyvadla: T = 2π√ (l/g)

kde T je doba kmitání, l je délka závěsu kyvadla, g je zrychlení volného pádu.

Na Měsíci je gravitační zrychlení přibližně 6krát menší než na Zemi, tedy g(Měsíc) = g(Země)/6. Dosazením této hodnoty do vzorce pro období dostaneme: T(Měsíc) = 2π√(l/g(Měsíc)) = 2π√(l/(g(Země)/6)) = 2π√(6l/g(Země))

Doba kmitání matematického kyvadla na Měsíci tak bude přibližně 2,4krát delší než na Zemi.

***

Úloha 3.3.7 ze sbírky "Higher Mathematics. Differential Equations" od Kepe O.?. je formulován následovně:

"Vyřešte diferenciální rovnici y'' + 2y' + 5y = 0, pokud je známo, že y(0) = 1 a y'(0) = -2."

K vyřešení tohoto problému je nutné použít Laplaceovu metodu nebo charakteristickou rovnici. Laplaceova metoda spočívá v aplikaci Laplaceovy transformace na diferenciální rovnici, po které je výsledná algebraická rovnice řešena s ohledem na požadovanou funkci. Charakteristická rovnice se zjistí ze vztahu mezi koeficienty rovnice a jejími kořeny.

Pomocí Laplaceovy metody můžeme získat řešení ve tvaru y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)), kde c1 a c2 jsou libovolné konstanty. Dosazením počátečních podmínek získáme soustavu rovnic pro tyto konstanty. Řešením tohoto systému můžete získat konkrétní řešení problému.

Tedy řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.?. spočívá v nalezení funkce y(t) pomocí diferenciální rovnice y'' + 2y' + 5y = 0 a počátečních podmínek y(0) = 1 a y'(0) = -2.

Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.?. spočívá v určení pružné síly pružiny v kN při rovnováze mechanismu, je-li vzájemná tlaková síla kliky OAS a ojnice AB v závěsu A rovna 1 kN. K vyřešení problému je nutné použít Hookeův zákon, který stanoví lineární závislost deformace pružiny na síle, která na ni působí. K vyřešení problému je také nutné použít zákon zachování energie, který stanoví rovnost práce vykonávané silami při pohybu mechanismu z jedné polohy do druhé.

Podle podmínek problému je známa vzájemná tlaková síla kliky OAS a ojnice AB v závěsu A, která je rovna 1 kN. Je také známo, že mechanismus je v rovnováze, tzn. součet všech sil působících na mechanismus je nulový.

Chcete-li problém vyřešit, musíte použít následující algoritmus:

1. Určete směr působení pružné síly pružiny. Protože je mechanismus v rovnováze, musí být směr pružné síly pružiny opačný než směr vzájemné přítlačné síly kliky OAS a ojnice AB v závěsu A.

2. Najděte deformaci pružiny. K tomu je nutné použít Hookeův zákon, který stanoví lineární závislost deformace pružiny na síle, která na ni působí. Vzorec pro výpočet deformace pružiny je následující: Δl = F/k, kde Δl je deformace pružiny, F je síla působící na pružinu, k je koeficient pružnosti pružiny.

3. Najděte práci, kterou vykonala pružná síla pružiny. K tomu je nutné najít oblast grafu závislosti pružné síly pružiny na její deformaci. Protože pružina je lineární pružný prvek, je vztah mezi elastickou silou a její deformací přímka. Plocha pod touto čarou se rovná práci, kterou vykoná pružná síla pružiny.

4. Najděte hodnotu koeficientu pružnosti pružiny. K tomu je potřeba použít vzorec k = F/Δl, kde F je síla působící na pružinu, Δl je deformace pružiny.

5. Najděte hodnotu pružné síly pružiny. K tomu je potřeba použít vzorec F = kΔl, kde F je síla působící na pružinu, k je koeficient pružnosti pružiny, Δl je deformace pružiny.

Takže podle podmínek úlohy je známo, že vzájemná tlaková síla kliky OAS a ojnice AB v závěsu A je rovna 1 kN a odpověď na úlohu je rovna 0,707 kN. Chcete-li problém vyřešit, musíte použít algoritmus popsaný výše.

1. Směr působení pružné síly pružiny musí být opačný než směr vzájemné přítlačné síly kliky OAS a ojnice AB v závěsu A.

2. Pojďme najít deformaci pružiny. Pomocí vzorce Δl = F/k, kde F = 1 kN, je nutné najít koeficient pružnosti pružiny k. K tomu zjistíme práci, kterou vykonala pružná síla pružiny. Plocha pod grafem lineární závislosti pružné síly na její deformaci je rovna práci, kterou vykonala pružná síla pružiny. Plochu pod přímkou ​​lze nalézt jako plochu trojúhelníku tvořeného svislou osou a dvěma body na grafu odpovídajícími deformacím pružiny 0 a Δl. Plocha trojúhelníku je 0,5kΔl^2. Protože práce, kterou vykoná pružná síla pružiny, je rovna práci interakce mezi vzájemnou tlakovou silou kliky OAS a ojnicí AB v závěsu A, je práce vykonaná pružnou silou pružiny rovna 1. kNm. Takže 0,5kΔl^2 = 1 kmm. Řešením této rovnice pro Δl dostaneme Δl = 0,1414 m.

3. Zjistíme hodnotu koeficientu pružnosti pružiny. Podle vzorce k = F/Δl, kde F = 1 kN, k = 1 kN/0,1414 m = 7,07 kN/m.

4. Zjistíme hodnotu pružné síly pružiny. Podle vzorce F = kAl, F = 7,07 кН/м0,1414 m = 1 kN.

Pružná síla pružiny, když je mechanismus v rovnováze, je tedy 1 kN.

***

1. Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. je vynikající digitální produkt pro ty, kteří si chtějí zlepšit své znalosti v matematice.
2. Jsem velmi vděčný za řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. - pomohlo mi to připravit se na zkoušku.
3. Tento digitální produkt poskytuje jasné a logické řešení problému 3.3.7 z kolekce Kepe O.E. - pomáhá to lépe porozumět látce.
4. Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. bylo velmi užitečné pro mé učení matematiky.
5. Našel jsem řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. velmi jasné a snadno aplikovatelné.
6. Tento digitální produkt je vynikající volbou pro ty, kteří hledají efektivní způsob, jak vyřešit problém 3.3.7 z kolekce Kepe O.E.
7. Doporučuji řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. pro ty, kteří chtějí zlepšit své matematické dovednosti.

Zvláštnosti:

Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. Pomohl mi lépe porozumět matematice.

Tento digitální produkt mi poskytl úplný a srozumitelný návod k řešení problému 3.3.7.

Díky tomuto řešení problému jsem úspěšně dokončil domácí úkol.

Velmi kvalitní materiál a srozumitelné vysvětlení řešení.

Řešení problému 3.3.7 bylo snadné stáhnout a používat.

Tento digitální produkt doporučuji každému, kdo čelí obtížným matematickým problémům.

Velmi užitečný a informativní digitální produkt, který pomáhá při výuce matematiky.

Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. skvělý digitální produkt pro ty, kteří dělají matematiku.

Tento produkt vám pomůže lépe pochopit a naučit se řešit problémy z kolekce Kepe O.E.

Mít přístup k řešení problémů na počítači nebo tabletu je velmi pohodlné – šetří to čas a zjednodušuje práci.

Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. prezentovány jasným a logickým způsobem, díky čemuž je použití velmi pohodlné.

Díky tomuto digitálnímu produktu si můžete materiál prostudovat kdykoli a kdekoli, co vám vyhovuje.

Řešení problému 3.3.7 ze sbírky Kepe O.E. je skvělý způsob, jak otestovat své znalosti a dovednosti v matematice.

Tento digitální produkt vám pomůže připravit se na zkoušky nebo matematické olympiády.