Solution au problème 3.3.7 de la collection Kepe O.E.

Problème 3.3.7 de la collection de Kepe O.?. est comme suit: "Déterminez comment la période d'oscillation d'un pendule mathématique changera s'il est suspendu sur la Lune. La masse du pendule et la longueur de la suspension restent inchangées, l'accélération de la chute libre sur la Lune est d'environ 1/6 de celle sur Terre."

Pour résoudre ce problème, vous devez utiliser la formule de la période d'oscillation d'un pendule mathématique : T = 2π√(l/g)

où T est la période d'oscillation, l est la longueur de la suspension pendulaire, g est l'accélération de la chute libre.

Sur la Lune, l’accélération due à la gravité est environ 6 fois inférieure à celle sur Terre, soit g(Lune) = g(Terre)/6. En substituant cette valeur dans la formule de la période, nous obtenons : T(Lune) = 2π√(l/g(Lune)) = 2π√(l/(g(Terre)/6)) = 2π√(6l/g(Terre))

Ainsi, la période d'oscillation d'un pendule mathématique sur la Lune sera environ 2,4 fois plus longue que sur Terre.

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Problème 3.3.7 de la collection "Mathématiques supérieures. Equations différentielles" de Kepe O.?. est formulé ainsi :

"Résolvez l'équation différentielle y'' + 2y' + 5y = 0 si l'on sait que y(0) = 1 et y'(0) = -2."

Pour résoudre ce problème il faut utiliser la méthode de Laplace ou l'équation caractéristique. La méthode de Laplace consiste à appliquer la transformée de Laplace à une équation différentielle, après quoi l'équation algébrique résultante est résolue par rapport à la fonction souhaitée. L'équation caractéristique est obtenue à partir de la relation entre les coefficients de l'équation et ses racines.

En utilisant la méthode de Laplace, nous pouvons obtenir une solution sous la forme y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)), où c1 et c2 sont des constantes arbitraires. En substituant les conditions initiales, nous obtenons un système d'équations pour ces constantes. En résolvant ce système, vous pouvez obtenir une solution spécifique au problème.

Ainsi, la solution au problème 3.3.7 de la collection de Kepe O.?. consiste à trouver la fonction y(t) à l'aide de l'équation différentielle y'' + 2y' + 5y = 0 et des conditions initiales y(0) = 1 et y'(0) = -2.

Solution au problème 3.3.7 de la collection Kepe O.?. consiste à déterminer la force élastique du ressort en kN lorsque le mécanisme est en équilibre, si la force de pression mutuelle de la manivelle OAS et de la bielle AB dans la charnière A est égale à 1 kN. Pour résoudre le problème, il est nécessaire d'utiliser la loi de Hooke, qui établit une dépendance linéaire de la déformation d'un ressort sur la force qui lui est appliquée. Aussi, pour résoudre le problème, il est nécessaire d'utiliser la loi de conservation de l'énergie, qui établit l'égalité du travail effectué par les forces lors du déplacement d'un mécanisme d'une position à une autre.

Selon les conditions du problème, on connaît la force de pression mutuelle de la manivelle OAS et de la bielle AB dans la charnière A, qui est égale à 1 kN. On sait également que le mécanisme est en équilibre, c'est-à-dire la somme de toutes les forces agissant sur le mécanisme est nulle.

Pour résoudre le problème, vous devez utiliser l'algorithme suivant :

1. Déterminez la direction d’action de la force élastique du ressort. Puisque le mécanisme est en équilibre, la direction de la force élastique du ressort doit être opposée à la direction de la force de pression mutuelle de la manivelle OAS et de la bielle AB dans la charnière A.

2. Trouvez la déformation du ressort. Pour ce faire, il est nécessaire d'utiliser la loi de Hooke, qui établit une dépendance linéaire de la déformation d'un ressort sur la force qui lui est appliquée. La formule de calcul de la déformation du ressort est la suivante : Δl = F/k, où Δl est la déformation du ressort, F est la force agissant sur le ressort, k est le coefficient d'élasticité du ressort.

3. Trouvez le travail effectué par la force élastique du ressort. Pour ce faire, il faut trouver l'aire du graphique de dépendance de la force élastique du ressort sur sa déformation. Le ressort étant un élément élastique linéaire, la relation entre la force élastique et sa déformation est une ligne droite. L'aire sous cette ligne est égale au travail effectué par la force élastique du ressort.

4. Trouvez la valeur du coefficient d'élasticité du ressort. Pour ce faire, vous devez utiliser la formule k = F/Δl, où F est la force agissant sur le ressort, Δl est la déformation du ressort.

5. Trouvez la valeur de la force élastique du ressort. Pour ce faire, il faut utiliser la formule F = kΔl, où F est la force agissant sur le ressort, k est le coefficient d'élasticité du ressort, Δl est la déformation du ressort.

Ainsi, selon les conditions du problème, on sait que la force de pression mutuelle de la manivelle OAS et de la bielle AB dans la charnière A est égale à 1 kN, et la réponse au problème est égale à 0,707 kN. Pour résoudre le problème, vous devez utiliser l'algorithme décrit ci-dessus.

1. Le sens d'action de la force élastique du ressort doit être opposé au sens de la force de pression mutuelle de la manivelle OAS et de la bielle AB dans la charnière A.

2. Trouvons la déformation du ressort. En utilisant la formule Δl = F/k, où F = 1 kN, il faut trouver le coefficient d'élasticité du ressort k. Pour ce faire, on retrouve le travail effectué par la force élastique du ressort. L'aire sous le graphique de la dépendance linéaire de la force élastique sur sa déformation est égale au travail effectué par la force élastique du ressort. L'aire sous la droite peut être trouvée comme l'aire du triangle formé par l'axe vertical et les deux points du graphique correspondant aux déformations du ressort, respectivement 0 et Δl. L'aire du triangle est de 0,5kΔl^2. Puisque le travail effectué par la force élastique du ressort est égal au travail d'interaction entre la force de pression mutuelle de la manivelle OAS et de la bielle AB dans la charnière A, le travail effectué par la force élastique du ressort est égal à 1. kNm. Donc, 0,5kΔl^2 = 1 кНm. En résolvant cette équation pour Δl, nous obtenons Δl = 0,1414 m.

3. Trouvons la valeur du coefficient d'élasticité du ressort. D'après la formule k = F/Δl, où F = 1 kN, k = 1 kN/0,1414 m = 7,07 kN/m.

4. Trouvons la valeur de la force élastique du ressort. D'après la formule F = kΔl, F = 7,07 кН/м0,1414 m = 1 kN.

Ainsi, la force élastique du ressort lorsque le mécanisme est en équilibre est de 1 kN.

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