Kepe O.E. のコレクションからの問題 3.3.7 の解決策。

Kepe O.? のコレクションからの問題 3.3.7。以下のとおりであります： 「数学的な振り子が月面に吊るされた場合、その振動周期がどのように変化するかを調べてください。振り子の質量と吊るされた長さは変化せず、月面での自由落下の加速度はその約 1/6 です。」地球上で。"

この問題を解決するには、数学的な振り子の振動周期の公式を使用する必要があります。 T = 2π√(l/g)

ここで、T は振動の周期、l は振り子のサスペンションの長さ、g は自由落下の加速度です。

月では、重力による加速度は地球よりも約 6 倍小さくなります。つまり、g(月) = g(地球)/6 です。この値を期間の式に代入すると、次のようになります。 T(月) = 2π√(l/g(月)) = 2π√(l/(g(地球)/6)) = 2π√(6l/g(地球))

したがって、月上の振り子の振動周期は地球上の約 2.4 倍になります。

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Kepe O.? のコレクション「Higher Mathematics. Differential Equations」の問題 3.3.7。は次のように定式化されます。

「y(0) = 1 および y'(0) = -2 であることがわかっている場合、微分方程式 y'' + 2y' + 5y = 0 を解きます。」

この問題を解決するには、ラプラス法または特性方程式を使用する必要があります。ラプラス法は、微分方程式にラプラス変換を適用し、その後、結果として得られる代数方程式を目的の関数に関して解くことから構成されます。特性方程式は、方程式の係数と根との関係から求められます。

ラプラス法を使用すると、y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)) の形式で解を得ることができます。ここで、c1 と c2 は任意の定数です。初期条件を代入すると、これらの定数に対する連立方程式が得られます。このシステムを解くことで、問題に対する具体的な解決策を得ることができます。

したがって、問題 3.3.7 の解決策は Kepe O.? のコレクションから得られます。微分方程式 y'' + 2y' + 5y = 0 と初期条件 y(0) = 1 および y'(0) = -2 を使用して関数 y(t) を見つけることにあります。

Kepe O.? のコレクションからの問題 3.3.7 の解決策。ヒンジ A におけるクランク OAS とコネクティング ロッド AB の相互圧力が 1 kN に等しい場合、機構が平衡状態にあるときのスプリングの弾性力を kN 単位で決定することにあります。この問題を解決するには、バネに加えられる力に対するバネの変形の線形依存性を確立するフックの法則を使用する必要があります。また、この問題を解決するには、機構をある位置から別の位置に移動させるときに力によって実行される仕事の等しいことを確立するエネルギー保存の法則を使用する必要があります。

問題の条件によれば、ヒンジ A におけるクランク OAS とコンロッド AB の相互加圧力は既知であり、これは 1 kN に等しくなります。このメカニズムは平衡状態にあること、つまり平衡状態にあることも知られています。機構に作用するすべての力の合計はゼロです。

この問題を解決するには、次のアルゴリズムを使用する必要があります。

1. バネの弾性力の作用方向を決定します。機構は平衡状態にあるため、バネの弾性力の方向は、ヒンジAにおけるクランクOASとコネクティングロッドABの相互押圧力の方向と逆でなければなりません。

2. ばねの変形を求めます。これを行うには、フックの法則を使用する必要があります。フックの法則は、バネに加えられる力に対するバネの変形の線形依存性を確立します。ばねの変形を計算する式は次のとおりです。 Δl = F/k、ここで、Δl はばねの変形、F はばねに作用する力、k はばねの弾性係数です。

3. ばねの弾性力による仕事を求めます。これを行うには、バネの弾性力の変形に対する依存性のグラフの面積を見つける必要があります。ばねは線形弾性要素であるため、弾性力と変形量の関係は直線になります。この線の下の面積は、バネの弾性力によって行われる仕事に等しくなります。

4. ばねの弾性係数の値を求めます。これを行うには、式 k = F/Δl を使用する必要があります。ここで、F はバネに作用する力、Δl はバネの変形です。

5. ばねの弾性力の値を求めます。これを行うには、式 F = kΔl を使用する必要があります。ここで、F はバネに作用する力、k はバネの弾性係数、Δl はバネの変形です。

したがって、問題の条件から、ヒンジ A におけるクランク OAS とコンロッド AB の相互押圧力は 1 kN であることがわかり、問題の答えは 0.707 kN となります。この問題を解決するには、上記のアルゴリズムを使用する必要があります。

1. スプリングの弾性力の作用方向は、ヒンジ A におけるクランク OAS とコンロッド AB の相互押圧力の方向と逆でなければなりません。

2. ばねの変形を求めてみましょう。式 Δl = F/k (F = 1 kN) を使用して、ばね弾性係数 k を求める必要があります。これを行うには、ばねの弾性力によって行われる仕事を求めます。変形に対する弾性力の線形依存性を示すグラフの下の面積は、バネの弾性力によって行われる仕事に等しくなります。直線の下の面積は、縦軸とバネの変形量 0 と Δl に対応するグラフ上の 2 点によって形成される三角形の面積として求められます。三角形の面積は0.5ですkΔl^2。バネの弾性力による仕事は、ヒンジAにおけるクランクOASとコンロッドABの相互押圧力の相互作用の仕事に等しいので、バネの弾性力による仕事は1に等しい。 kNm.つまり、0.5kΔl^2 = 1 кНm. この方程式を Δl について解くと、Δl = 0.1414 m が得られます。

3. ばねの弾性係数の値を求めてみましょう。式 k = F/Δl によると、F = 1 kN、k = 1 kN/0.1414 m = 7.07 kN/m となります。

4. ばねの弾性力の値を求めてみましょう。式によると、F = kΔl、F = 7.07 кН/м0.1414 m = 1 kN。

したがって、機構が平衡状態にあるときのバネの弾性力は 1 kN となります。

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