Λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E.

Πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.?. είναι όπως ακολουθεί: "Προσδιορίστε πώς θα αλλάξει η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς εάν αιωρείται στη Σελήνη. Η μάζα του εκκρεμούς και το μήκος της ανάρτησης παραμένουν αμετάβλητα, η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης στη Σελήνη είναι περίπου το 1/6 αυτής στη γη."

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς: T = 2π√(l/g)

όπου T είναι η περίοδος ταλάντωσης, l είναι το μήκος της ανάρτησης του εκκρεμούς, g είναι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης.

Στη Σελήνη, η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι περίπου 6 φορές μικρότερη από τη Γη, δηλαδή g(Σελήνη) = g(Γη)/6. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στον τύπο για την περίοδο, παίρνουμε: T(Σελήνη) = 2π√(l/g(Σελήνη)) = 2π√(l/(g(Γη)/6)) = 2π√(6l/g(Γη))

Έτσι, η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς στη Σελήνη θα είναι περίπου 2,4 φορές μεγαλύτερη από ό,τι στη Γη.

***

Πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή "Ανώτατα Μαθηματικά. Διαφορικές Εξισώσεις" του Kepe O.?. διατυπώνεται ως εξής:

"Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y'' + 2y' + 5y = 0 αν είναι γνωστό ότι y(0) = 1 και y'(0) = -2."

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Laplace ή η χαρακτηριστική εξίσωση. Η μέθοδος Laplace αποτελείται από την εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace σε μια διαφορική εξίσωση, μετά την οποία η προκύπτουσα αλγεβρική εξίσωση λύνεται σε σχέση με την επιθυμητή συνάρτηση. Η χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκεται από τη σχέση μεταξύ των συντελεστών της εξίσωσης και των ριζών της.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Laplace, μπορούμε να λάβουμε μια λύση με τη μορφή y(t) = e^(-t) * (c1 * cos(2t) + c2 * sin(2t)), όπου οι c1 και c2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων για αυτές τις σταθερές. Επιλύοντας αυτό το σύστημα, μπορείτε να αποκτήσετε μια συγκεκριμένη λύση στο πρόβλημα.

Έτσι, η λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.?. συνίσταται στην εύρεση της συνάρτησης y(t) χρησιμοποιώντας τη διαφορική εξίσωση y'' + 2y' + 5y = 0 και τις αρχικές συνθήκες y(0) = 1 και y'(0) = -2.

Λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.?. συνίσταται στον προσδιορισμό της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου σε kN όταν ο μηχανισμός βρίσκεται σε ισορροπία, εάν η αμοιβαία δύναμη πίεσης του στρόφαλου OAS και της μπιέλας AB στον μεντεσέ Α είναι ίση με 1 kN. Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο νόμος του Hooke, ο οποίος καθιερώνει μια γραμμική εξάρτηση της παραμόρφωσης ενός ελατηρίου από τη δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτό. Επίσης, για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο νόμος διατήρησης της ενέργειας, ο οποίος καθιερώνει την ισότητα του έργου που εκτελείται από τις δυνάμεις κατά τη μετακίνηση ενός μηχανισμού από τη μια θέση στην άλλη.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι γνωστή η αμοιβαία δύναμη πίεσης του στρόφαλου OAS και της μπιέλας ΑΒ στον μεντεσέ Α, η οποία είναι ίση με 1 kN. Είναι επίσης γνωστό ότι ο μηχανισμός βρίσκεται σε ισορροπία, δηλ. το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στον μηχανισμό είναι μηδέν.

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

1. Προσδιορίστε την κατεύθυνση δράσης της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου. Δεδομένου ότι ο μηχανισμός βρίσκεται σε ισορροπία, η κατεύθυνση της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου πρέπει να είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της δύναμης αμοιβαίας πίεσης του στρόφαλου OAS και της μπιέλας AB στον μεντεσέ Α.

2. Βρείτε την παραμόρφωση του ελατηρίου. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ο νόμος του Hooke, ο οποίος καθιερώνει μια γραμμική εξάρτηση της παραμόρφωσης ενός ελατηρίου από τη δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτό. Ο τύπος για τον υπολογισμό της παραμόρφωσης του ελατηρίου έχει ως εξής: Δl = F/k, όπου Δl είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου, F είναι η δύναμη που ασκεί το ελατήριο, k ο συντελεστής ελαστικότητας του ελατηρίου.

3. Βρείτε το έργο που κάνει η ελαστική δύναμη του ελατηρίου. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή του γραφήματος της εξάρτησης της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου από την παραμόρφωσή του. Δεδομένου ότι το ελατήριο είναι ένα γραμμικό ελαστικό στοιχείο, η σχέση μεταξύ της ελαστικής δύναμης και της παραμόρφωσής του είναι ευθεία γραμμή. Το εμβαδόν κάτω από αυτή τη γραμμή είναι ίσο με το έργο που κάνει η ελαστική δύναμη του ελατηρίου.

4. Βρείτε την τιμή του συντελεστή ελαστικότητας ελατηρίου. Για να γίνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο k = F/Δl, όπου F είναι η δύναμη που ασκεί το ελατήριο, Δl είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου.

5. Να βρείτε την τιμή της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου. Για να γίνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο F = kΔl, όπου F είναι η δύναμη που ασκεί το ελατήριο, k είναι ο συντελεστής ελαστικότητας του ελατηρίου, Δl είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου.

Έτσι, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι γνωστό ότι η αμοιβαία δύναμη πίεσης του στρόφαλου OAS και της μπιέλας AB στον μεντεσέ Α είναι ίση με 1 kN και η απάντηση στο πρόβλημα είναι ίση με 0,707 kN. Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο που περιγράφεται παραπάνω.

1. Η κατεύθυνση δράσης της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου πρέπει να είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της δύναμης αμοιβαίας πίεσης του στρόφαλου OAS και της μπιέλας AB στον μεντεσέ Α.

2. Ας βρούμε την παραμόρφωση του ελατηρίου. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Δl = F/k, όπου F = 1 kN, είναι απαραίτητο να βρεθεί ο συντελεστής ελαστικότητας ελατηρίου k. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το έργο που κάνει η ελαστική δύναμη του ελατηρίου. Το εμβαδόν κάτω από το γράφημα της γραμμικής εξάρτησης της ελαστικής δύναμης από την παραμόρφωσή της είναι ίσο με το έργο που κάνει η ελαστική δύναμη του ελατηρίου. Η περιοχή κάτω από την ευθεία μπορεί να βρεθεί ως η περιοχή του τριγώνου που σχηματίζεται από τον κατακόρυφο άξονα και τα δύο σημεία στο γράφημα που αντιστοιχούν στις παραμορφώσεις του ελατηρίου, 0 και Δl, αντίστοιχα. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι 0,5kΔl^2. Δεδομένου ότι το έργο που εκτελείται από την ελαστική δύναμη του ελατηρίου είναι ίσο με το έργο αλληλεπίδρασης μεταξύ της δύναμης αμοιβαίας πίεσης του στρόφαλου OAS και της μπιέλας AB στον μεντεσέ Α, το έργο που εκτελείται από την ελαστική δύναμη του ελατηρίου είναι ίσο με 1 kNμ. Άρα, 0,5kΔl^2 = 1 κΝμ. Λύνοντας αυτή την εξίσωση για Δl, παίρνουμε Δl = 0,1414 m.

3. Ας βρούμε την τιμή του συντελεστή ελαστικότητας ελατηρίου. Σύμφωνα με τον τύπο k = F/Δl, όπου F = 1 kN, k = 1 kN/0,1414 m = 7,07 kN/m.

4. Ας βρούμε την τιμή της ελαστικής δύναμης του ελατηρίου. Σύμφωνα με τον τύπο F = kΔl, F = 7,07 kN/m0,1414 m = 1 kN.

Έτσι, η ελαστική δύναμη του ελατηρίου όταν ο μηχανισμός βρίσκεται σε ισορροπία είναι 1 kN.

***

1. Λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E. είναι ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.
2. Είμαι πολύ ευγνώμων για τη λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E. - με βοήθησε να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις.
3. Αυτό το ψηφιακό προϊόν παρέχει μια σαφή και λογική λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E. - αυτό βοηθά στην καλύτερη κατανόηση του υλικού.
4. Λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E. ήταν πολύ χρήσιμο για την εκμάθηση των μαθηματικών.
5. Βρήκα λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E. πολύ σαφές και εύκολο στην εφαρμογή.
6. Αυτό το ψηφιακό προϊόν είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους αναζητούν έναν αποτελεσματικό τρόπο επίλυσης του προβλήματος 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E.
7. Προτείνω τη λύση στο πρόβλημα 3.3.7 από τη συλλογή της Kepe O.E. για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις μαθηματικές τους δεξιότητες.

Ιδιαιτερότητες:

Λύση του προβλήματος 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.E. Με βοήθησε να καταλάβω καλύτερα τα μαθηματικά.

Αυτό το ψηφιακό προϊόν μου παρείχε πλήρεις και κατανοητές οδηγίες για την επίλυση του προβλήματος 3.3.7.

Χάρη σε αυτή τη λύση στο πρόβλημα, ολοκλήρωσα με επιτυχία την εργασία μου.

Πολύ καλής ποιότητας υλικό και ξεκάθαρη εξήγηση της λύσης.

Η λύση στο πρόβλημα 3.3.7 ήταν εύκολη στη λήψη και στη χρήση.

Συνιστώ αυτό το ψηφιακό προϊόν σε όποιον αντιμετωπίζει δύσκολα μαθηματικά προβλήματα.

Ένα πολύ χρήσιμο και κατατοπιστικό ψηφιακό προϊόν που βοηθά στη διδασκαλία των μαθηματικών.

Λύση του προβλήματος 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.E. ένα υπέροχο ψηφιακό προϊόν για όσους κάνουν μαθηματικά.

Αυτό το προϊόν θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα και να μάθετε πώς να επιλύετε προβλήματα από τη συλλογή της Kepe O.E.

Είναι πολύ βολικό να έχετε πρόσβαση στην επίλυση προβλημάτων στον υπολογιστή ή το tablet σας - εξοικονομεί χρόνο και απλοποιεί την εργασία σας.

Λύση του προβλήματος 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.E. παρουσιάζεται με σαφή και λογικό τρόπο, γεγονός που το καθιστά πολύ βολικό στη χρήση.

Χάρη σε αυτό το ψηφιακό προϊόν, μπορείτε να μελετήσετε το υλικό οποιαδήποτε στιγμή και μέρος βολικό για εσάς.

Λύση του προβλήματος 3.3.7 από τη συλλογή του Kepe O.E. είναι ένας πολύ καλός τρόπος για να δοκιμάσετε τις γνώσεις και τις δεξιότητές σας στα μαθηματικά.

Αυτό το ψηφιακό προϊόν θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για εξετάσεις ή ολυμπιάδες μαθηματικών.