Soluzione al problema 20.5.8 dalla collezione di Kepe O.E.

20.5.8 Energia cinetica di un sistema meccanico T = 2x2, energia potenziale P = 4x. È necessario determinare la velocità generalizzata del sistema x al tempo t = 3 s, se x|t = 0 = 13 m/s. (Risposta 10).

Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di conservazione dell'energia, la quale afferma che la somma dell'energia cinetica e potenziale del sistema rimane costante. Dalle condizioni del problema si conoscono i valori dell'energia cinetica e potenziale al tempo t = 0 s.

Energia cinetica T = 2x2, energia potenziale P = 4x.

Pertanto l’energia totale del sistema nell’istante iniziale è pari a:

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2).

Dalla legge di conservazione dell'energia segue che l'energia totale del sistema rimane in ogni momento costante. Così:

E = 2x(x + 2) = cost.

Per determinare la velocità generalizzata del sistema x al tempo t = 3 s è necessario utilizzare l'equazione del moto del sistema:

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2,

dove x|t=0 è il valore iniziale della coordinata generalizzata, v|t=0 è il valore iniziale della velocità generalizzata, a è l'accelerazione.

Dividendo questa equazione per t^2 e prendendo la derivata temporale, otteniamo:

a = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2.

Considerando che l’energia potenziale del sistema è P = 4x, possiamo scrivere l’equazione del moto nella forma:

T + П = cost => 2х^2 + 4х = cost.

Differenziando questa equazione rispetto al tempo, otteniamo:

2x*v + 4v = 0.

Sostituendo i valori delle condizioni problematiche, otteniamo:

213v + 4 v = 0,

da cui v = -5,2.

Pertanto, la velocità generalizzata del sistema x al tempo t = 3 s è pari a -5,2 m/s.

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Il prodotto è la soluzione al problema 20.5.8 dalla collezione di Kepe O.?.

In questo problema ci vengono fornite le energie cinetica e potenziale di un sistema meccanico in funzione della coordinata generalizzata x: T = 2x^2 e P = 4x. È necessario determinare la velocità generalizzata del sistema x al tempo t=3 s, se x|t=0=13 m/s.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare l'equazione di Lagrange del secondo tipo: d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0, dove L è la lagrangiana del sistema.

Calcoliamo la Lagrangiana del sistema: L = T - П = 2x^2 - 4x.

Successivamente, calcoliamo le derivate: dL/dx = 4x - 4 e dL/dx_dot = 4x_dot.

Sostituiamo il secondo tipo nell'equazione di Lagrange e otteniamo l'equazione del moto del sistema: d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0.

Risolviamo questa equazione e troviamo la velocità generalizzata del sistema x al tempo t=3 s, se x|t=0=13 m/s: x_dot = 10 m/s. Risposta: 10.

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