Kepe O.E 컬렉션의 문제 20.5.8에 대한 솔루션입니다.

20.5.8 기계 시스템의 운동 에너지 T = 2x2, 위치 에너지 P = 4x. x|t = 0 = 13m/s인 경우 시간 t = 3s에서 시스템 x의 일반화된 속도를 결정해야 합니다. (답변 10).

문제를 해결하려면 계의 운동에너지와 위치에너지의 합이 일정하다는 에너지 보존 법칙을 사용해야 합니다. 문제의 조건으로부터 t=0s 시점의 운동에너지와 위치에너지 값을 알 수 있습니다.

운동 에너지 T = 2x2, 위치 에너지 P = 4x.

따라서 초기 순간에 시스템의 총 에너지는 다음과 같습니다.

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2).

에너지 보존 법칙에 따르면 언제든지 시스템의 총 에너지는 일정하게 유지됩니다. 따라서:

E = 2x(x + 2) = 상수.

시간 t = 3초에서 시스템 x의 일반화된 속도를 결정하려면 시스템의 운동 방정식을 사용해야 합니다.

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2,

여기서 x|t=0은 일반화된 좌표의 초기값이고, v|t=0은 일반화된 속도의 초기값이고, a는 가속도입니다.

이 방정식을 t^2로 나누고 시간 미분을 취하면 다음을 얻습니다.

a = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2.

시스템의 위치 에너지가 P = 4x임을 고려하면 운동 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.

T + П = const => 2х^2 + 4х = const.

이 방정식을 시간에 대해 미분하면 다음을 얻습니다.

2x*v + 4v = 0.

문제 조건의 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

213v + 4v = 0,

여기서 v = -5.2입니다.

따라서 시간 t = 3s에서 시스템 x의 일반화된 속도는 -5.2m/s와 같습니다.

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이 문제에서는 일반화된 좌표 x(T = 2x^2 및 P = 4x)에 따라 기계 시스템의 운동 에너지와 위치 에너지가 제공됩니다. x|t=0=13 m/s인 경우 시간 t=3 s에서 시스템 x의 일반화된 속도를 결정해야 합니다.

문제를 해결하려면 두 번째 종류의 라그랑주 방정식인 d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0을 사용해야 합니다. 여기서 L은 시스템의 라그랑지입니다.

시스템의 라그랑지안을 계산합니다: L = T - П = 2x^2 - 4x.

다음으로, 도함수를 계산합니다: dL/dx = 4x - 4 및 dL/dx_dot = 4x_dot.

우리는 라그랑주 방정식에 두 번째 종류를 대체하고 시스템의 운동 방정식을 얻습니다: d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0.

우리는 이 방정식을 풀고 x|t=0=13 m/s인 경우 시간 t=3 s에서 시스템 x의 일반화된 속도를 찾습니다: x_dot = 10 m/s. 답: 10.

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