Solução para o problema 20.5.8 da coleção de Kepe O.E.

20.5.8 Energia cinética de um sistema mecânico T = 2x2, energia potencial P = 4x. É necessário determinar a velocidade generalizada do sistema x no instante t = 3 s, se x|t = 0 = 13 m/s. (Resposta 10).

Para resolver o problema, é necessário utilizar a lei da conservação da energia, que afirma que a soma das energias cinética e potencial do sistema permanece constante. A partir das condições do problema, são conhecidos os valores das energias cinética e potencial no tempo t = 0 s.

Energia cinética T = 2x2, energia potencial P = 4x.

Portanto, a energia total do sistema no momento inicial é igual a:

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2).

Segue-se da lei da conservação da energia que a energia total do sistema em qualquer momento permanece constante. Por isso:

E = 2x(x + 2) = const.

Para determinar a velocidade generalizada do sistema x no tempo t = 3 s, é necessário utilizar a equação de movimento do sistema:

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2,

onde x|t=0 é o valor inicial da coordenada generalizada, v|t=0 é o valor inicial da velocidade generalizada, a é a aceleração.

Dividindo esta equação por t ^ 2 e calculando a derivada do tempo, obtemos:

uma = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2.

Considerando que a energia potencial do sistema é P = 4x, podemos escrever a equação do movimento na forma:

T + П = const => 2х^2 + 4х = const.

Diferenciando esta equação em relação ao tempo, obtemos:

2x*v + 4v = 0.

Substituindo os valores das condições do problema, obtemos:

213v + 4v = 0,

de onde v = -5,2.

Assim, a velocidade generalizada do sistema x no tempo t = 3 s é igual a -5,2 m/s.

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O produto é a solução do problema 20.5.8 da coleção de Kepe O.?.

Neste problema, recebemos as energias cinética e potencial de um sistema mecânico dependendo da coordenada generalizada x: T = 2x^2 e P = 4x. É necessário determinar a velocidade generalizada do sistema x no instante t=3 s, se x|t=0=13 m/s.

Para resolver o problema, é necessário utilizar a equação de Lagrange do segundo tipo: d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0, onde L é o Lagrangiano do sistema.

Calculamos o Lagrangiano do sistema: L = T - П = 2x^2 - 4x.

A seguir, calculamos as derivadas: dL/dx = 4x - 4 e dL/dx_dot = 4x_dot.

Substituímos o segundo tipo na equação de Lagrange e obtemos a equação de movimento do sistema: d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0.

Resolvemos esta equação e encontramos a velocidade generalizada do sistema x no tempo t=3 s, se x|t=0=13 m/s: x_dot = 10 m/s. Resposta: 10.

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