Solución al problema 20.5.8 de la colección de Kepe O.E.

20.5.8 Energía cinética de un sistema mecánico T = 2x2, energía potencial P = 4x. Es necesario determinar la velocidad generalizada del sistema x en el tiempo t = 3 s, si x|t = 0 = 13 m/s. (Respuesta 10).

Para resolver el problema es necesario utilizar la ley de conservación de la energía, que establece que la suma de las energías cinética y potencial del sistema permanece constante. A partir de las condiciones del problema se conocen los valores de las energías cinética y potencial en el tiempo t = 0 s.

Energía cinética T = 2x2, energía potencial P = 4x.

Por tanto, la energía total del sistema en el momento inicial es igual a:

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2).

De la ley de conservación de la energía se deduce que la energía total del sistema en cualquier momento permanece constante. De este modo:

E = 2x(x + 2) = constante.

Para determinar la velocidad generalizada del sistema x en el tiempo t = 3 s, es necesario utilizar la ecuación de movimiento del sistema:

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2,

donde x|t=0 es el valor inicial de la coordenada generalizada, v|t=0 es el valor inicial de la velocidad generalizada, a es la aceleración.

Dividiendo esta ecuación por t^2 y tomando la derivada del tiempo, obtenemos:

a = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2.

Considerando que la energía potencial del sistema es P = 4x, podemos escribir la ecuación de movimiento en la forma:

T + П = constante => 2х^2 + 4х = constante.

Derivando esta ecuación con respecto al tiempo, obtenemos:

2x*v + 4v = 0.

Sustituyendo los valores de las condiciones del problema, obtenemos:

213v + 4v = 0,

de donde v = -5,2.

Por tanto, la velocidad generalizada del sistema x en el tiempo t = 3 s es igual a -5,2 m/s.

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El producto es la solución al problema 20.5.8 de la colección de Kepe O.?.

En este problema, se nos dan las energías cinética y potencial de un sistema mecánico dependiendo de la coordenada generalizada x: T = 2x^2 y P = 4x. Es necesario determinar la velocidad generalizada del sistema x en el tiempo t=3 s, si x|t=0=13 m/s.

Para resolver el problema es necesario utilizar la ecuación de Lagrange de segundo tipo: d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0, donde L es el lagrangiano del sistema.

Calculamos el Lagrangiano del sistema: L = T - П = 2x^2 - 4x.

A continuación, calculamos las derivadas: dL/dx = 4x - 4 y dL/dx_dot = 4x_dot.

Sustituimos el segundo tipo en la ecuación de Lagrange y obtenemos la ecuación de movimiento del sistema: d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0.

Resolvemos esta ecuación y encontramos la velocidad generalizada del sistema x en el instante t=3 s, si x|t=0=13 m/s: x_dot = 10 m/s. Respuesta: 10.

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