Lösung für Aufgabe 20.5.8 aus der Sammlung von Kepe O.E.

20.5.8 Kinetische Energie eines mechanischen Systems T = 2x2, potentielle Energie P = 4x. Es ist notwendig, die verallgemeinerte Geschwindigkeit des Systems x zum Zeitpunkt t = 3 s zu bestimmen, wenn x|t = 0 = 13 m/s. (Antwort 10).

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, den Energieerhaltungssatz anzuwenden, der besagt, dass die Summe der kinetischen und potentiellen Energien des Systems konstant bleibt. Aus den Bedingungen des Problems sind die Werte der kinetischen und potentiellen Energie zum Zeitpunkt t = 0 s bekannt.

Kinetische Energie T = 2x2, potentielle Energie P = 4x.

Daher ist die Gesamtenergie des Systems zum Anfangszeitpunkt gleich:

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2).

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, dass die Gesamtenergie des Systems zu jedem Zeitpunkt konstant bleibt. Auf diese Weise:

E = 2x(x + 2) = const.

Um die verallgemeinerte Geschwindigkeit des Systems x zum Zeitpunkt t = 3 s zu bestimmen, muss die Bewegungsgleichung des Systems verwendet werden:

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2,

Dabei ist x|t=0 der Anfangswert der verallgemeinerten Koordinate, v|t=0 der Anfangswert der verallgemeinerten Geschwindigkeit und a die Beschleunigung.

Wenn wir diese Gleichung durch t^2 dividieren und die Zeitableitung bilden, erhalten wir:

a = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2.

Wenn man bedenkt, dass die potentielle Energie des Systems P = 4x ist, können wir die Bewegungsgleichung in der Form schreiben:

T + П = const => 2х^2 + 4х = const.

Wenn wir diese Gleichung nach der Zeit differenzieren, erhalten wir:

2x*v + 4v = 0.

Ersetzen wir die Werte aus den Problembedingungen, erhalten wir:

213v + 4v = 0,

woher v = -5,2.

Somit beträgt die verallgemeinerte Geschwindigkeit des Systems x zum Zeitpunkt t = 3 s -5,2 m/s.

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Das Produkt ist die Lösung zu Problem 20.5.8 aus der Sammlung von Kepe O.?.

In diesem Problem erhalten wir die kinetischen und potentiellen Energien eines mechanischen Systems in Abhängigkeit von der verallgemeinerten Koordinate x: T = 2x^2 und P = 4x. Es ist notwendig, die verallgemeinerte Geschwindigkeit des Systems x zum Zeitpunkt t=3 s zu bestimmen, wenn x|t=0=13 m/s.

Um das Problem zu lösen, muss die Lagrange-Gleichung zweiter Art verwendet werden: d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0, wobei L die Lagrange-Funktion des Systems ist.

Wir berechnen die Lagrangefunktion des Systems: L = T - П = 2x^2 - 4x.

Als nächstes berechnen wir die Ableitungen: dL/dx = 4x - 4 und dL/dx_dot = 4x_dot.

Wir setzen die zweite Art in die Lagrange-Gleichung ein und erhalten die Bewegungsgleichung des Systems: d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0.

Wir lösen diese Gleichung und ermitteln die verallgemeinerte Geschwindigkeit des Systems x zum Zeitpunkt t=3 s, wenn x|t=0=13 m/s: x_dot = 10 m/s. Antwort: 10.

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