Kepe O.E 收集的问题 20.5.8 的解决方案

20.5.8 机械系统的动能 T = 2x2，势能 P = 4x。如果 x|t = 0 = 13 m/s，则有必要确定系统 x 在时间 t = 3 s 时的广义速度。 （答案10）。

为了解决这个问题，需要利用能量守恒定律，该定律指出系统的动能和势能之和保持恒定。从问题的条件可知，t = 0 s 时刻的动能和势能值。

动能 T = 2x2，势能 P = 4x。

因此，系统在初始时刻的总能量等于：

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2)。

根据能量守恒定律，系统的总能量在任何时候都保持恒定。因此：

E = 2x(x + 2) = 常量。

为了确定系统 x 在时间 t = 3 s 时的广义速度，需要使用系统的运动方程：

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2,

其中x|t=0是广义坐标的初始值，v|t=0是广义速度的初始值，a是加速度。

将该方程除以 t^2 并取时间导数，我们得到：

a = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2。

考虑到系统的势能为P = 4x，我们可以将运动方程写成以下形式：

T + П = 常量 => 2х^2 + 4х = 常量。

对该方程对时间求微分，我们得到：

2x*v + 4v = 0。

将问题条件中的值代入，我们得到：

213v+4v=0，

由此 v = -5.2。

因此，系统 x 在时间 t = 3 s 时的广义速度等于 -5.2 m/s。

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在这个问题中，我们根据广义坐标 x 给出了机械系统的动能和势能：T = 2x^2 和 P = 4x。如果 x|t=0=13 m/s，则需要确定系统 x 在时间 t=3 s 时的广义速度。

为了解决该问题，需要使用第二类拉格朗日方程：d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0，其中L是系统的拉格朗日。

我们计算系统的拉格朗日：L = T - П = 2x^2 - 4x。

接下来，我们计算导数：dL/dx = 4x - 4 和 dL/dx_dot = 4x_dot。

我们将第二类代入拉格朗日方程，得到系统的运动方程：d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0。

我们求解这个方程并找到系统 x 在时间 t=3 s 时的广义速度，如果 x|t=0=13 m/s：x_dot = 10 m/s。答案：10。

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